DE L'ÉVALUATION DU RISQUE DE CRÉDIT

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1 DE L'ÉALUAION DU RISQUE DE CRÉDI François-Éric Racico * Déparemen des sciences adminisraives Universié du Québec, Ouaouais Raymond héore Déparemen Sraégie des Affaires Universié du Québec, Monréal RePAd Working Paper No. 35 * Adresse posale : François-Éric Racico, Déparemen des sciences adminisraives, Universié du Québec en Ouaouais, Pavillon Lucien Braul, rue Sain Jean Bosco, Gaineau, Québec, Canada, J8Y 3J5. Correspondance : francoiseric.racico@uqo.ca. Raymond héore, Déparemen sraégie des affaires, Universié du Québec à Monréal, 35 es, Se-Caherine, Monréal, HX- 3X. Correspondance : heore.raymond@uqam.ca. Ce papier es l un des chapires de nore prochain ouvrage iniulé : Finance compuaionnelle e gesion des risques. his paper can be downloaded from RePAd.org : hp://ideas.repec.org/p/pqs/wpaper/35.hml Copyrigh 5.

2 DE L'ÉALUAION DU RISQUE DE CRÉDI Résumé En recouran de plus en plus aux modèles à forme réduie, la héorie de l'évaluaion du risque de crédi se disance de plus en plus de l'ingénierie financière radiionnelle qui donne la par belle aux modèles srucurels. Bien qu'ils posulen l'absence d'arbirage, les modèles à forme réduie reposen sur la disribuion des peres d'une enreprise dans un monde risque-neure pluô que sur un processus de diffusion. Il s'ensui que la faillie n'es pas un processus prévisible comme dans le modèle original de Meron mais survien de façon subie. L'avenir de l'évaluaion du risque de crédi semble êre du côé des modèles hybrides qui combinen les modèles srucurels e les modèles à forme réduie. Absrac By using more and more reduced-form models, he valuaion heory of credi risk ends o move away from radiional financial engineering which ress on srucural models. Alhough hey posulae no arbirage, reduced-form models are based on he disribuion of losses of a firm in a risk-neural world insead of on a diffusion process. herefore, failure is no predicable as in he original Meron model bu i is sudden. Hybrid models combining elemens of srucural and reduced-form models seem o be he orienaion of fuure research in his area. Mos-clefs : évaluaion des acifs; risque de crédi; ingénierie financière. Keywords : asses valuaion; credi risk; financial engineering. JEL : G; G3; G33.

3 Inroducion Il n y a encore que quelques années, l ocroi du crédi par une insiuion financière éai une opéraion rès sommaire. Les agens habiliés à cee fin se conenaien d éudier les rappors compables de ceux qui solliciaien des fonds en comparan leurs raios financiers à ceux qui son associés aux normes de bonne sané financière. On les classai alors dans une caégorie de risque qui permeai de fixer sur une base de jugemen la prime de risque. L opéraion s arrêai là. On ne voyai pas non plus une opéraion de prê comme une consiuane du porefeuille de prês de l insiuion prêeuse. On se souciai donc rès peu de la diversificaion des porefeuilles de prês. Mais les choses devaien changer au cours des décennies 8 e 9 alors que la faillie de grandes enreprises menaça à ce poin la sané financière de leurs bailleurs de fonds que cerains se viren même forcés de déposer leur bilan. En 988, le Comié de Bâle exigea que les banques déiennen un capial suffisan pour couvrir leur exposiion au risque de crédi. Ce capial devai êre au moins égal à 8% des acifs pondérés des banques par leur coefficien de risque respecif. Chemin faisan, des modèles se son développés pour analyser le risque de crédi d une insiuion financière. Bien plus, des produis dérivés pour gérer le risque du crédi son apparus sur les marchés hors bourse au débu des années 9. Leur développemen es fulguran depuis, noammen du côé des swap de défau de crédi. Le bu de ce chapire es jusemen d analyser les modèles proposés pour éudier le risque de crédi e de faire éa de cerains produis dérivés apes à couvrir cee caégorie de risque. Il exise deux grandes caégories de modèles qui visen à quanifier le risque de crédi, les bus de ces modèles éan grosso modo de calculer un écar de rendemen enre la dee d'une enreprise risquée e une dee sans risque aux caracérisiques rapprochées choisie comme dee de Soi les credi defaul swap (CDS) en anglais. 3

4 référence ("benchmark"), cela dans l'espri du modèle original de Meron (974). Ces deux caégories son: i) les modèles srucurels qui voien l'évoluion d'une enreprise comme un processus de diffusion. Dans ces modèles, le défau survien quand la valeur de l'enreprise vien se siuer en deçà de la valeur de la dee. Mais la principale carence de ces modèles es que le défau ne peu survenir par surprise puisque la valeur de l'enreprise obempère à un processus de diffusion coninu; ii) les modèles à forme réduie. Ces modèles éablissen un lien enre la valeur de la firme e le défau. Le défau es un événemen imprévisible qui sui généralemen un processus de Poisson e qui se radui par une diminuion subie de la valeur de l'enreprise. En veru de cee approche, la faillie n'es pas un processus progressif comme cela es le cas dans les modèles srucurels. L'analyse de la faillie en forme réduie disance sensiblemen cee procédure des modèles dis srucurels. Cee analyse repose en effe sur la disribuion des peres d'une enreprise e les dérivés du crédi son évalués en conformié avec cee disribuion. A l'insar des modèles srucurels, les modèles à forme réduie posulen l'absence d'arbirage, en ce sens que le prix juse d'un dérivé du crédi es éabli en égalisan les avanages coningens acualisés de l'acheeur d'un produi dérivé aux peres coningenes acualisées du vendeur du produi dérivé. Les deux approches se siuen égalemen généralemen dans le monde risque-neure bien qu'il puisse y avoir quelques écars sur ce dernier poin. Enfin, les modèles hybrides paricipen de la naure des modèles srucurels e des modèles à forme réduie. Le bu de ce chapire es de présener les modèles d'analyse du risque de crédi qui on marqué la liéraure e de les appliquer aux produis dérivés du crédi les plus en vogue. Par exemple, la mesure omega du risque évalue un pu dans le monde réel e non dans le monde risque-neure. 4

5 . Un modèle simple de risque de crédi 3 Une insiuion financière dispose d une série hisorique sur les peres de son porefeuille de prês. Elle peu donc s en servir pour consruire la disribuion de ces peres. L espérance de la pere de crédi, noée par E(CL), dépend de rois faceurs : i) la probabilié de défau sur chaque prê. C es une variable Bernouilli qui prend une valeur de s il y a défau e auremen. Son espérance es égale à la probabilié de défau ; ii) l exposiion au crédi i. Si on associe crédi à empruneur, l exposiion visà-vis d un empruneur donné représene le monan qui lui a éé prêé ; iii) le aux de pere sur un prê. Il es égal à (- rc ), où rc représene le aux de recouvremen lors du défau. Les peres sur prês (CL) son donc égales à : CL N i b EC i avec N, le nombre de prês accordés ; b i, une variable de Bernouilli qui prend la valeur s il y a défau e auremen ; EC i, le monan du prê accordé au i ème empruneur e pi, le aux de pere sur le prê i qui es égal à : (- rci ). L espérance de la pere es donc de : E N i ( CL) E( bi ) ECi pi i N pi i p EC Supposons que l espérance de la pere d un porefeuille de prês ai éé esimée à 5 millions $ e que l écar-ype des peres de ce porefeuille soi de millions $. La pire pere qu il puisse survenir avec une probabilié de 99% sur une base annuelle, si l on suppose que la disribuion des peres obéi à une loi normale, es alors de :,33 millions $ 3,3 millions $ 4. La pere non i i pi 3 Dans cee secion, nous imions la démarche de Jorion (3). 4 C es là une mesure relaive de la ar du porefeuille. 5

6 espérée es alors de : 3,3 5 8,3 millions $ 5. C es là le capial que doi déenir l insiuion pour couvrir ses peres. On nomme ce capial : CaR, soi l acronyme de : Capial a Risk. Le rendemen que requier une insiuion financière sur un prê doi êre suffisan pour couvrir la pere espérée e une rémunéraion normale du CaR. Une insiuion qui ne iendrai compe que de l espérance des peres pour rémunérer ses prês sous-esimerai donc le rendemen de ses prês. Ceres, le pricing risque-neure ne prend en compe que l espérance des peres pour éablir le rendemen des prês. Mais les probabiliés risque-neures ne son pas égales aux probabiliés objecives. Les probabiliés risque-neures son en effe conaminées par des primes de risque qui incorporen le degré d aversion au risque des invesisseurs. Ces probabiliés emmagasinen donc une rémunéraion implicie de la CaR. Les probabiliés objecives n emmagasinen pas une elle rémunéraion. C es pourquoi il fau ajouer une rémunéraion explicie pour le CaR lorsqu on uilise les probabiliés objecives. On peu formuler l espérance de la pere de crédi d un porefeuille de manière plus élégane en recouran au calcul inégral. E(CL) s écri alors : ( CL) ( b EC ) f ( b, EC, ) ( db EC ) E Si les rois variables son indépendanes, alors on peu écrire : p p p E ( CL) b f ( b) db EC f ( EC) dec p f ( p ) d p soi le produi des valeurs espérées des rois variables : ( CL) prob( défau) E( EC) ( ) E E p 5 C es là une mesure absolue de la ar du porefeuille. 6

7 A ire d exemple, si la probabilié de défau es de 3%, l exposiion, de millions $ e le aux de recouvremen de 4%, l espérance de pere es de : ( CL),3 (,4),8 million $ E La pire pere de crédi (WCL) au seuil c se défini de façon implicie comme sui : WCL f ( x) dx c α avec f(x) la foncion de densié des peres. La variable WCL es représenée à la figure. Par exemple, si c es égal à 95%, on cherche le WCL qui es la borne supérieure de la surface égale à 5%, sous la foncion de densié des peres, comprise enre moins l infini e WCL. La CaR, qui représene la pere non espérée, es égale à : CaR WCL E(CL) Figure La CaR CaR WCL E(CL) 7

8 . Le risque de crédi dans le cadre de l équaion différenielle de Black e Scholes 6 Nous voulons éablir la disincion enre une obligaion sans risque e une obligaion qui compore un risque de défau dans le cadre de l équaion différenielle de Black e Scholes. Pour ce faire, nous devons dans un premier emps éablir l équaion différenielle du prix de l obligaion sans risque de défau. Cee démarche ressemble beaucoup à celle qui es généralemen adopée pour inroduire les processus de saus dans l équaion différenielle de Black e Scholes, un sau pouvan êre égalemen assimilé à un défau. Supposons que le aux d inérê, désigné par r, obéisse au processus d Iô suivan : dr u( r, ) d w( r, ) dz () La valeur de l obligaion prend la forme : (r,,), éan le emps présen e représenan la dae d échéance de l obligaion. Pour consruire l équaion différenielle de (.), nous devons faire appel à une obligaion d échéance différene car le aux d inérê, soi le sous-jacen de l obligaion, n es pas un acif ransigé. On se donne donc deux obligaions e qui ne diffèren que par leur échéance. Leur échéance respecive es de e. On consrui le porefeuille suivan de couverure : Π () On fai appel au lemme d Iô pour écrire l'équaion différenielle de ce porefeuille : dπ d dr w d d dr w r r r r d (3) Dans cee équaion, le faceur de risque es représené par le aux d inérê. Il s agi ici d un risque de marché e non d un risque de crédi. Le coefficien de dr es de : r r Pour éliminer le risque du porefeuille, il suffi donc d annuler ce erme. Il en résule la valeur suivane pour : 6 Pour rédiger cee secion, nous suivons la démarche de : Wilmo () 8

9 9 r r (4) En choisissan cee valeur pour, on élimine donc oue inceriude du porefeuille. En remplaçan par sa valeur donnée par l équaion (4) dans l équaion (3), on obien : d r w r w d Π (5) Comme ce porefeuille es sans risque, il doi rapporer le aux d inérê sans risque r, c es-à-dire : d r d Π Π (6) En subsiuan les équaions () e (4) dans l équaion (6), on a :. d r d r d Π Π (7) En égalisan les équaions (5) e (7), on a :. d r d r w r w (8) En regroupan à gauche les ermes en de l équaion (8) e ceux en à droie, on obien : r r r w r r r w (9) Dans l équaion (9), le erme de gauche dépend de e non de e cela es l inverse pour celui de droie. La seule façon que ce soi possible es que les deux côés ne dépenden pas de. En enlevan les indices dans l équaion (9), on obien : ), ( r a r r r w () Appliquons la ransformaion de Girsanov suivane :

10 ( r, ) w( r, ) ( r, ) u( r ) a λ, () En subsiuan () dans (9), on a l équaion différenielle du prix de l obligaion : w r λ () r ( u w) r On remarque que l équaion () es idenique à celle de Black e Scholes sauf pour le coefficien de r qui es égal à ( µ λw) e non à r. En effe, le aux d inérê, soi le sous-jacen de, n es pas ransigé. Il en résule que le drif de l équaion du aux d inérê, soi l équaion (), subsise dans l équaion différenielle de. La ransformaion de Girsanov de ce drif laisse égalemen subsiser le prix du marché du risque, λ, qui es muliplié par w, soi la volailié du aux d inérê. Pour rouver une soluion unique à l équaion différenielle (), nous devons imposer une condiion finale e deux condiions aux bornes. La condiion finale es de: (r,,). Les condiions aux bornes dépenden de u e w. Si un coupon K(r,) es reçu dans l inervalle d, l équaion () devien : w r r ( u λ w) r K( r, ) Nous inroduisons mainenan le risque de défau dans cee analyse. La probabilié de défau enre e (d) es de pd. Soi Z la valeur de l obligaion à coupon zéro sans risque de défau de même échéance que l obligaion comporan un risque de défau. La valeur de l obligaion risquée s écri alors : e p( ) Z Le rendemen à l échéance de l obligaion risquée es de : log p( ) ( e Z ) log Z p Le risque de défau se radui donc par l ajou d un écar (spread) p au rendemen de l obligaion risquée.

11 Selon Wilmo (), ce modèle relève des processus de Poisson. Rien n arrive duran un cerain emps e puis il se produi un changemen soudain d éa. On rappelle que l équaion différenielle de Black e Scholes modifiée par un processus de sau d inensié λ ajouai un écar λ au erme qui représene le erme d escompe dans cee équaion. Par analogie, le risque de défau ransforme l équaion différenielle () comme sui : w r λ (3) r ( u w) ( r p) La probabilié de défau a donc éé ajouée dans le coefficien du dernier erme de l équaion différenielle. Pourquoi la probabilié de défau p s ajoue--elle dans l équaion différenielle (3)? Il fau comprendre ici que le porefeuille d arbirage Π n es couver que conre les flucuaions du risque que représene le aux d inérê. Il n es pas proégé conre le risque de défau. C es pour cee raison qu une compensaion s ajoue à r dans le dernier erme de l équaion différenielle (3), compensaion nécessaire pour rémunérer le risque de défau. Au lieu de considérer p comme fixe, on peu l'envisager comme une variable aléaoire. Son équaion sochasique s écri : dp γ d δdz On rappelle l équaion sochasique du aux d inérê : dr ud wdz ρ représene la corrélaion enre les deux mouvemens browniens z e z. dépend mainenan de rois variables :, r e p. L applicaion du lemme d Iô nous perme de rouver facilemen l équaion différenielle de : w δ r ρwδ p rp r p ( u λw) γ ( r p)

12 avec comme condiion finale : (r,p,) Le modèle de Meron (974) e ses exensions Meron (974) a proposé un modèle basé sur le levier financier d une enreprise pour expliquer la prime de risque associée à la dee émise par celle-ci. Ce modèle es original car il fai appel à l équaion de Black e Scholes pour modéliser cee prime de risque. Supposons qu une enreprise ai émis n acions. Son bilan compore égalemen une émission d obligaions don la valeur nominale es de F$. La valeur marchande globale des obligaions de la compagnie es présenemen de B e le prix de ses acions se siue à S. La valeur marchande courane de cee firme s éabli donc à : B ns. Soi la valeur de la firme à l échéance des obligaions e B 8, la valeur marchande des obligaions à l échéance. À la dae d échéance des obligaions, deux événemens son possibles : ) L enreprise es en mesure de rembourser la valeur nominale de ses obligaions. On a alors : ( > F). La dee es alors repayée e les acionnaires ouchen la valeur résiduelle de la firme, c es-à-dire ( - F) ; ) l enreprise n es pas en mesure de rembourser la valeur nominale de ses obligaions. L enreprise dépose alors son bilan. Les créanciers prennen possession de la firme e les acionnaires son laissés pour compe. ransposons le raisonnemen que nous venons d effecuer en ermes de la héorie des opions. En prêan à la firme, les créanciers se son vériablemen porés acquéreurs de cee firme e on vendu une opion d acha aux acionnaires. En effe, les créanciers deviendron propriéaires 7 Pour plus de déails sur cee approche, on consulera : Wilmo (), chap Si l enreprise es solvable à l échéance des obligaions, la valeur marchande des obligaions (B ) es évidemmen égale à F, soi la valeur nominale de ces obligaions.

13 de la compagnie si la firme fai faillie, e les acionnaires exerceron leur opion d acha à l échéance des obligaions si l enreprise es alors en mesure de rembourser la valeur nominale des obligaions qu elle a émises. ransposons le raisonnemen que nous venons d effecuer en ermes d équaions. Selon que la firme es solvable ou non à l échéance des obligaions, la valeur de celles-ci es égale à : B B F si si < F > F On peu regrouper ces deux équaions de la façon suivane : ( F ) B MIN, Cee expression signifie que B es égal au minimum des deux valeurs enre parenhèses : F ou. Si F es supérieur à, la firme es alors insolvable à l échéance des obligaions e la valeur marchande des obligaions correspond à la valeur de la firme. Par ailleurs, si F es inférieur à à l échéance des obligaions, la firme es alors solvable e la valeur marchande des obligaions es égale à leur valeur nominale. Cee dernière équaion peu êre réécrie comme sui : B MAX ( F,) En effe, si es supérieur à F, le maximum es alors égal à ( - F) à la droie de l équaion e B es alors égal à F. Par ailleurs, si es inférieur à F, le maximum es de zéro e B es alors égal à. On rerouve donc les résulas de la foncion MIN. C es ici que l opion d acha apparaî. En effe, on peu écrire : C MAX ( F,) Dans cee expression, C désigne la valeur erminale d une opion d acha sur la valeur de la firme don le prix d exercice es de F. 3

14 Par subsiuion, on obien : B C e, en rapporan cee équaion à la dae acuelle (), on obien : B C Selon cee équaion, les créanciers conrôlen la valeur marchande de la firme, soi, mais on vendu une opion d acha (-C ) 9 à ses acionnaires. C es bien l affirmaion que nous avons formulée anérieuremen e qui pouvai paraîre suspece au dépar : les créanciers, e non les acionnaires, son propriéaires de la compagnie! Mais ce son des propriéaires qui on pieds e poings liés : ils on en effe vendu une opion d acha aux acionnaires de la compagnie. On peu égalemen exprimer la valeur marchande des obligaions d une compagnie en ermes d opions de vene. Reprenons l équaion qui nous a servi à exprimer la valeur marchande des obligaions en ermes d opions d acha, soi : ( F ) B MIN, Cee équaion peu êre réécrie de la façon suivane : Or, on sai que : ( F ) B F MAX, ( F ) P MAX, Dans cee expression, P désigne la valeur d une opion de vene écrie sur la valeur de la firme e don le prix d exercice es de F. Par subsiuion, on obien finalemen : B F P e en ramenan cee équaion à la période présene () : 9 Dans cee équaion, (C) désigne une posiion en compe (long posiion) dans une opion d acha, c es-à-dire que l invesisseur a acheé cee opion. (-C) fai référence à une posiion à découver (shor posiion) dans une opion d acha, e correspond à la vene d une elle opion. 4

15 B r Fe f P Pour ramener F au emps présen, nous l avons acualisé de façon coninue au aux sans risque (r f ). Cee équaion offre une aure inerpréaion de la relaion qui exise enre les créanciers e les acionnaires dans une enreprise. Dans cee nouvelle perspecive, les acionnaires demeuren propriéaires de la firme. Ils on empruné la valeur présene de F e acheé une opion de vene des créanciers pour se proéger du risque que présene la dee. Sans l acha de cee opion, les acionnaires n auraien pas une responsabilié limiée. Cee opion de vene représene une police d assurance pour les acionnaires. Si, à l échéance des obligaions, la valeur de la firme s avère inférieure à la valeur nominale des obligaions, les acionnaires von exercer leur opion de vene e abandonner la firme aux créanciers. La probabilié que la firme fasse défau es évidemmen égale à celle d exercer l opion de vene, soi N(-d ). L équaion précédene qui éabli la relaion enre la valeur marchande de la dee e la valeur d une opion de vene nous perme d écrire : Prix d' une obligaion risquée prix d' une obligaion sans risque - prix d' une opion de vene ou encore : Prix d' une obligaion risquée prix d' une obligaion sans risque - prime de risque La prime de risque d une obligaion es donc assimilable à une opion de vene. Les obligaions risquées von comporer une escompe relaivemen aux obligaions sans risque, don l imporance variera en foncion des faceurs qui influen sur le prix de cee opion de vene. Nous savons que le prix de l opion de vene européenne es égal à : 5

16 P Fe r f N ( d ) N( ) d En subsiuan la valeur de cee opion de vene dans l équaion du prix d une obligaion risquée, soi : on obien: B Fe r f P r N f Fe N( d ) Fe ( d ) B r f Remplaçons l expression enre croches par K. On a : B Fe K éan le faceur d escompe d une obligaion risquée. C es le faceur par lequel il fau escomper l obligaion sans risque pour obenir la valeur de l obligaion risquée. r f K Il es facile de passer de la dernière expression à la prime de risque, exprimée sous forme de rendemen, d une obligaion. Comme la composiion des inérês es supposée coninue, le aux de rendemen de l obligaion risquée (r B ) es égal à l expression suivane : r B F ln B La prime de risque de l obligaion es donc égale à : ( r r ) prime de risque B f Illusrons ces équaions que nous venons d écrire par l exemple suivan. La valeur marchande d une firme es de 4 millions $ e la valeur nominale de sa dee se chiffre à 39,5 millions $. Sa dee échoi dans un an. Le aux d inérê sans risque es de % e l écar ype de la valeur marchande de la firme es de,4. On demande de calculer la prime de risque des obligaions de cee enreprise. 6

17 La dee de cee firme es évidemmen risquée. En effe, son levier financier, à haueur de 79 (39,5/,5), s avère rès élevé. La prime de risque sur les acions de cee compagnie devrai êre subsanielle. C es ce que nous révélera le calcul de cee prime de risque à parir de l équaion de Black e Scholes. Pour calculer la valeur de l opion de vene incorporée dans la dee, nous nous servons du programme écri en isual Basic qui se rerouve au ableau. Sous les données de nore problème, la valeur du pu s éabli à 5,6$. ableau Programme en isual Basic du calcul du prix d un pu européen Funcion PuOpionBS(s, x,, rf, sigma) Num Log(s / x) (rf.5 * sigma ^ ) * d Num / (sigma * Sqr()) PuOpionBS -s * Applicaion.NormSDis(-d) _ x * Exp(- * rf) * Applicaion.NormSDis(-d sigma * Sqr()) End Funcion La valeur de la dee sans risque es de : 39,5e, 38,7 Comme la valeur de la dee risquée es égale à la différence enre la valeur de la dee sans risque e la valeur de l opion de vene, on a : 38,7 5,6 33,9 Le aux de rendemen des obligaions risquées es alors égal à : 38,7 r B ln 7,67% 33,9 La prime de risque sur de elles obligaions es imporane, e cela conformémen à nos aenes. Elle es égale à : 7,67% - % 5,67% 7

18 Cee prime de risque es foremen condiionnée par le niveau de la valeur nominale de la dee e par l écar ype de la valeur marchande des acifs de l enreprise. La figure prend ace de ces relaions. On remarquera incidemmen sa fore sensibilié à la volailié des acifs. Figure Évoluion de la prime de risque de la dee en foncion de sa valeur nominale Évoluion de la prime de risque en foncion de la volailié des acifs Prime de risque (%) Dee Prime de risque (%) 6 4,,4,6,8 volailié Black e Cox (976) on modifié le modèle de Meron de manière à auoriser la faillie de l'enreprise avan l'échéance de la dee. Leur modèle es donc du ype «emps d'arrê» ou «sopping ime» qui es aussi celui des opions américaines. A l'inérieur de leur modèle, la valeur de l'enreprise obéi à l'équaion différenielle suivane: d ( r κ ) d σdz avec κ le aux coninu de paiemen du dividende. Le aux d'inérê es fixe, ce qui peu êre vu comme l'une des faiblesses de ce modèle don l'objecif es de modéliser le risque de crédi. Conrairemen au modèle de Meron (974), le emps auquel survien la faillie n'es pas fixé à l'échéance de la dee mais es une foncion du emps. La période τ à laquelle survien le défau es modélisée par l'équaion suivane: { > ( ) K( ) } τ inf : où inf signifie «infimum». C'es-à-dire que l'on recherche la période la plus rapprochée pour laquelle la valeur () de l'enreprise se siue en-dessous de la barrière K() qui déclenche la faillie. Cerains aueurs préfèren écrire l'équaion précédene comme sui: τ min : { > ( ) K( ) } 8

19 Le modèle de Black e Cox perme de prendre en compe différenes caégories de dees qui diffèren selon leur degré de séniorié au plan du remboursemen. Longsaff e Schwarz (995) on donné plus de réalisme au modèle de Black e Cox en rendan le aux d'inérê sochasique. Le modèle de aux d'inérê uilisé fu empruné à asicek (977). 4. Modélisaion dynamique de la probabilié de défau : les probabiliés de ransiion Avan d inroduire les marices de ransiion, il convien d éablir une disincion enre le rendemen promis d une obligaion e son rendemen espéré. Le rendemen promis d une obligaion es son rendemen à l échéance, di encore «aux de rendemen inerne». Lors de son calcul, l on suppose que le aux de défau des cash-flows de l obligaion es nul. L émeeur de l obligaion es solvable e remboursera à coup sûr les coupons de l obligaion de même que sa valeur nominale. Supposons mainenan que le aux de défau ne soi pas nul. Nous voulons calculer le rendemen espéré d une obligaion d un an don le aux annuel du coupon es de C e don la valeur nominale es de N. Il exise une probabilié égale à π que l émeeur ne soi pas en défau au cours de l année. λ représene le aux de recouvremen de la valeur nominale s il y défau. Le cash-flow espéré de fin d année pour l obligaion es donc de : [ π ( C) N ( π ) λ F] Connaissan le prix de l obligaion P, on peu calculer le aux de rendemen espéré r : r [ π ( C) N ( π ) λ F] P. Ceres, le aux de rendemen espéré es inférieur au aux de rendemen promis puisque ce dernier aux repose sur la ceriude que ous les paiemens de l obligaion auron lieu. Il rese qu à l équilibre, le aux de rendemen espéré devra êre proporionné à la probabilié de défau e à la proporion non remboursée des cash-flows de l obligaion, ces deux faceurs représenan le risque 9

20 de crédi de l obligaion. Plus ces deux faceurs de risque son imporans, plus le rendemen espéré devra l êre égalemen. Les enreprises qui émeen des obligaions se voien aribuer une coe par une agence de noaion. Les agences les plus connues aux Eas-Unis son Moody s e Sandard and Poor s. Nous supposons ici qu il n exise que quare coes, par ordre croissan de risque : A, B C e D, la dernière coe correspondan au défau de paiemen. À parir de ces coes, nous définissons la marice de ransiion de ransiion qui se rerouve au ableau. ableau Marice de ransiion π π Π AA BA π π AB BB π π AC BC Les probabiliés π ij indiquen la probabilié que, dans une période, l obligaion va se mouvoir de la coe i à la coe j. Ces probabiliés son condiionnelles puisque la coe de dépar es i. Pour mieux fixer les idées, inroduisons des nombres dans la marice de ransiion (ableau ). Comme ce son des probabiliés, la somme des nombres de chaque ligne doi êre égale à. ableau 3 Marice de ransiion d une enreprise A B C D,98,,3,9,,3,,,7,7 Selon la marice du ableau 3, si la coe de l enreprise es de A, la probabilié qu elle soi encore coée A dans une période s éabli à,98. Il y a par ailleurs une probabilié de, que cee enreprise passe à la coe B dans une période, condiionnellemen à sa coe A dans la période

21 courane. Selon la marice de ransiion, il es impossible qu une enreprise coée A à la période acuelle passe aux coes C e D dans une période. Supposons que les périodes soien des années. Nous voulons mainenan déerminer la probabilié cumulaive qu une enreprise coée i à la fin de la première année ai migré dans la coe j à la fin de la seconde année. Nous allons supposer que les probabiliés de ransiion obéissen à une chaîne de Markov. Auremen di, les migraions d une coe à l aure son indépendanes d une période à l aure. Seulemen les valeurs présenes imporen dans un processus de Markov. Prenons l exemple de l enreprise qui a une coe B au ableau 3 e calculons la probabilié qu elle fasse défau à la fin de l année. Il y a rois avenues pour elle d êre en défau à la fin de l année. Elle peu avoir migré à la coe A à la fin de l année e êre en défau à la fin de l année. La probabilié d une elle migraion es de : p ( D A ) p( A ),3 Selon le ableau 3, il exise en effe une probabilié de,3 que l enreprise migre de B à A à la fin de l année. Or, si elle se rouve dans cee posiion à la fin de l année, il es impossible qu elle soi en défau à la fin de l année. Il y a deux aures voies par lesquelles B peu se rouver en défau à la fin de la seconde année. Elle peu êre demeurée à la coe B à la fin de l année e avoir migré à D à la fin de l année. Ou encore, elle peu avoir migré à C à la fin de l année e êre enrée en défau à la fin de l année. La probabilié oale de ces rois mouvemens es donc de : [ p( D A ) p( A )] [ p( D B ) p( B )] [ p( D C ) p( C )] (,3) (,3,9) (,7,), 3 Ce calcul représene la probabilié ransioire (marginale) pour l enreprise de coe B à l année d êre en défau à l année. La probabilié cumulaive s obien en addiionnan à cee probabilié On applique ici la règle de Bayes, c es-à-dire : p( D A ) p ( A D ) p( A )

22 celle reliée à son défau à l année, soi 3% selon le ableau 3. La probabilié cumulaive es donc de 6,%. Il exise une façon simple de calculer les probabiliés cumulaives de chaque année. En effe, pour calculer les probabiliés cumulaives de la deuxième année, il suffi de mere la marice de ransiion au carré, c es-à-dire de la muliplier par elle-même. On obien alors Π : 3 A B C D,96,38,4,6,57,8494,34,6,4,946,494,96 Comme on peu le consaer dans la marice Π, la probabilié cumulaive que l enreprise de coe B fasse défau à la fin de l année es de 6,%, ce qui correspond bien au calcul précéden. Cee probabilié correspond à la probabilié de la première année à laquelle s ajoue la probabilié ransioire de la deuxième année. Pour obenir les probabiliés cumulaives de la roisième année, il suffi d élever au cube la marice ransioire Π. E ainsi de suie. Les probabiliés marginales de chaque année, c es-à-dire les accroissemens des probabiliés cumulaives, diffèren selon les coes. Les probabiliés marginales des coes élevées augmenen avec le emps, ce qui se passe de commenaires. andis que celles des coes faibles augmenen duran les premières années puis enden à diminuer par la suie. Selon Jorion (3), il fau voir là un effe de survie ou de reour vers la moyenne. Une enreprise coée faiblemen e qui es passée au ravers de ses premières années a d auan plus de chances de survivre par la suie. D où la diminuion ulérieure de sa probabilié marginale de défau. La première uilié des marices de ransiion es de renseigner sur les probabiliés de défau. Une aure es de calculer les cash-flows espérés d un porefeuille de prês e d esimer la C-aR, Nous meons un rai d union pour disinguer la C-aR de la CvaR, ce dernier acronyme éan réservé à la ar condiionnelle.