COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS

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1 COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS ème année. Analyse combinatoire.. Outils.. Principe de décomposition.. Permutations.. Arrangements..5 Combinaisons 8.. Développement du binôme 9..7 Ce qu il faut absolument savoir 5. Probabilités.. Introduction.. Expérience aléatoire, événement.. Notion de probabilité et axiomes 8.. Probabilités conditionnelles 5..5 Épreuves successives 8.. Théorème de Bayes *..7 Evénements indépendants..8 La loi binomiale Picchione Serge 0-0

2 ..9 Variables aléatoires discrètes 8..0 Moyenne ou espérance mathématique 0.. Variance et écart-type.. Cas particulier de la loi binomiale 7.. Variables aléatoires continues 9.. Quelques lois de probabilités continues 5..5 Ce qu il faut absolument savoir 59. Solutions des exercices 0 Picchione Serge 0-0

3 AVANT-PROPOS Ce document a été conçu pour l enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en quatrième année, en combinatoires et probabilités. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d autres filières d enseignement. Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. Les exercices accompagnés d un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l option, niveau avancé (MA). Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l étude d un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : «Ce qu il faut absolument savoir» et «Questionnaire à choix multiples». Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l adresse suivante : Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter. BON TRAVAIL! Picchione Serge 0-0

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5 . Analyse combinatoire L analyse combinatoire est la science du dénombrement, elle permet de déterminer le nombre de réalisations possible d une expérience donnée. On y rencontrera des problèmes du type : - De combien de façons peut-on asseoir 0 convives autour d'une table circulaire? - Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) lorsqu'on lance trois dés à faces? - Dans une course de 0 chevaux, combien y a-t-il de podiums possibles? Les réponses à ce type de problèmes sont souvent des nombres gigantesques (la réponse au premier problème dépasse les 00 mille)... Outils A. Le tableau Exemple On lance successivement deux dés à faces. Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles)? Réponse : Il y a = résultats possibles. 5 (;) (;) (;) (;) (;5) (;) (;) (;) (;) (;) (;5) (;) (;) (;) (;) (;) (;5) (;) (;) (;) (;) (;) (;5) (;) 5 (5;) (5;) (5;) (5;) (5;5) (5;) (;) (;) (;) (;) (;5) (;) Inconvénient du tableau : on ne peut pas y mettre plus de deux paramètres (dans l'exemple, on ne pourrait pas y mettre trois dés). B. La liste Exemple Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres,, et? Réponse : On peut composer avec les chiffres,, et exactement nombres. Inconvénient de la liste : très long, et on risque d'oublier des éléments ou de les mettre plusieurs fois. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

6 C. L'arbre de classement Exemple Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres,, et? chiffre des miliers chiffre des centaines chiffre des dizaines chiffre des unités L'arbre se lit verticalement (par exemple: la flèche indique le nombre ). Il est plus sûr que la liste, car de par sa symétrie, on voit s'il y a des doublons ou des éléments manquants. Il peut d'ailleurs être complété de façon partielle ou schématique selon la question qui nous intéresse. Définition Un arbre de classement est un schéma permettant de décrire et de dénombrer tous les résultats possibles d'une expérience donnée. D. La notation factorielle Sur l'exemple précédent, on voit que le premier étage comporte embranchements, le deuxième, le troisième et le dernier seul. L'arbre comporte donc = chemins. On peut ainsi extrapoler et deviner que si l'on rajoute un chiffre à l'énoncé, (càd: "Combien de nombres peut-on former avec les chiffres,,, et 5?") on va trouver 5 = 0 possibilités. On a recours à la notation suivante : Définition Soit n un entier positif ou nul. On appelle n factorielle, noté n!, le produit des nombres entiers de à n. si n=0 n! =... n si n > 0 Exemples 5! = 5 = 0 7! = 5 7 = ! = ,7 0 0! = 70! =... dépasse les capacités des calculatrices courantes! Remarque Sur certaines calculatrices, la touche x! effectue ce type de calcul. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

7 .. Principe de décomposition Activité Pour aller de la ville A à la ville D, on doit traverser trois rivières. Sur ces rivières, on dispose de sept ponts x, x, y, y, y, z, z. (B et C sont aussi des villes) A x x B y y C z z D y a) Combien y a-t-il de trajets différents de A à D? (sans passer deux fois par la même ville ) b) Ajoutons deux ponts z et z sur la rivière située entre les villes C et D. Combien y a-t-il de trajets différents de A à D? (sans passer deux fois par la même ville ) c) Ajoutons une ville E et une rivière située entre les villes D et E avec deux ponts w et w. Combien y a-t-il de trajets différents de A à E? (sans passer deux fois par la même ville ) Principe de décomposition Si une expérience globale peut se décomposer en k épreuves élémentaires successives, ces dernières pouvant s'effectuer respectivement de n,n,...n k manières, alors l expérience globale peut se faire de n n... nk manières différentes. C'est ce principe fondamental qui sera utilisé dans les paragraphes suivants pour aboutir aux formules les plus utiles de l'analyse combinatoire. Exemples a) On lance successivement trois dés à faces (une expérience globale). Combien y a-t-il d'issues possibles? {( ),( ),...} Réponse : D = ( chiffres distincts) D = ( chiffres distincts) D = ( chiffres distincts) Selon le principe de décomposition ( épreuves), le nombre d'issues possibles est de =. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

8 b) On veut imprimer une plaque de voiture comportant de gauche à droite, lettres distinctes et chiffres, le premier est différent de zéro (une expérience globale). A combien s'élève le nombre de plaques de ce type? {( CH ),( DE5 ),...,...} Réponse : L = ( lettres possibles) L = 5 (pour avoir des lettres distinctes) C = 9 (sans le zéro) C = 0 C5 = 0 Selon le principe de décomposition (5 épreuves), le nombre possible de plaques de ce type est de = 585'000. Remarque Dans les exemples précédents a) et b), la représentation de l'expérience globale avec un arbre de classement n'est pas conseillée car le nombre de possibilités est trop élevée... Permutations Exemple Combien de "mots" différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot ECROU? Réponse : Selon le principe de décomposition (5 épreuves) : E C R O U C R O U C O U C O O ère lettre : 5 possibilités ème lettre : possibilités ème lettre : possibilités ème lettre : possibilités 5ème lettre : possibilité Au total : 5 = 5! = 0 possibilités Définition Si on classe dans un ordre particulier n éléments distincts, on forme une permutation simple (de ces n éléments). Remarque Il y a dans l'exemple ci-dessus 0 permutations du "mot" ECROU. Autres exemple a) Combien de mots différents peut-on former à l aide des 7 lettres distinctes A, B, C, D, E, F, G? Réponse : Il y a P7 = 7 5 = 7! = 500 mots différents. b) De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc? Réponse : P5 = 5 = 5! = 0 possibilités. En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre P n de permutations simples est : P=n! n P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

9 Question Combien de mots différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot ERRER? Partons des permutations simples du mot ER er : on en trouve 5 = 5! = 0. Mais parmi celles-ci, certaines sont indiscernables si l'on emploie le même graphisme pour toutes les lettres : En partant du mot ERRER, on en trouve en permutant les trois r (!) : ER er ERre E Rer E rer ErRe Er er Puis, on peut multiplier par ces possibilités en permutant les deux e (!) : er Er erre e REr e rer erre er ER Nous avons donc 5! = 0 permutations simples pour le mot ERRER ; on en compte fois trop. Ils sont donc au nombre de 5!!! = 0 : RRREE RRERE RREER RERRE RERER REERR ERRRE ERRER ERERR EERRR Définition Si on classe dans un ordre particulier n éléments dont n sont identiques de type, n sont identiques de type,.., n k sont identiques de type k, on forme une permutation avec répétitions (de ces n éléments). En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre P n(n, n,..., n k) de permutations avec répétitions est : n! P n(n, n,..., n k) = n! n!... n! k Remarques a) P n (n, n,..., n k ) < P n b) La barre sur le P signifie "avec répétitions". P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

10 .. Arrangements Exemple Dans une course de 0 chevaux, combien peut-il y avoir de podiums différents (un podium comporte places)? Réponse : Selon le principe de décomposition ( épreuves) : ère place: 0 possibilités ème place: 9 possibilités ème place: 8 possibilités Au total : = 70 possibilités. 0! 0! On peut arriver à ce résultat en utilisant la notation factorielle : = = 7! 0! ( ) Définition Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts (r n) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement simple (de r éléments choisis parmi n). Autre exemple Après les prolongations d'un match de football le nombre de façons de choisir les 5 tireurs!! de penalties parmi les onze joueurs et l'ordre de passage : = = = 55'0 ( 5)!! n En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre A r d'arrangement simples est : n n! A r =n ( n-)... ( n-r+) = n-r! ( ) Remarques n n! n! a) Si r = n, An = = = n! = Pn; les permutations sont un cas particulier des arrangements. n n! 0! ( ) b) Sur certaines calculatrices, la touche npr effectue ce type de calcul. Question Combien de mots différents de lettres peux-t-on former à l aide des 7 lettres A, B, C, D, E, F, G si on peut répéter les lettres dans les mots? Réponse : Selon le principe de décomposition ( épreuves) : Il y a = 7 = 0 mots différents P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

11 Définition Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts ou non (on peut choisir plusieurs fois le même) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement avec répétitions (de r éléments choisis parmi n). Exemples Combien de séquences différentes peut-on lire sur un compteur kilométrique de voiture à chiffres? Réponse : Selon le principe de décomposition ( épreuves) Il y a = 0 = '000'000 choix. n En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre A r d'arrangement avec répétitions est : A =n Remarque La barre sur le A signifie "avec répétitions". n r r P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

12 ..5 Combinaisons Exemple Combien de sous-ensembles de lettres, sans tenir compte de l'ordre, peut-on former à l aide des lettres distinctes{ A,B,C, D }?! Réponse : Si l'on tient compte de l'ordre, voici le nombre de possibilités : A = =! ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA ADC ACD DAC DCA CAD CDA DBC DCB BDC BCD CDB CBD ( ) Or, chacune des colonnes donne les mêmes lettres, qui est alors compté fois (les! permutations du trio). Par conséquent, si l'on ne tient pas compte de l'ordre, comme c'est le cas pour les A! combinaisons, il faut diviser le nombre d'arrangements simples par! : C = = =!!! ( ) Définition Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts (r n) sans les classer dans un ordre particulier, on forme une combinaison simple (de r éléments choisis parmi n). Autrement dit : une combinaison est un arrangement dans lequel l'ordre ne compte pas. Autre exemple De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc de places si la place sur le banc est indifférente? 5 5! Réponse : C = = 0 façons. ( 5 )!! n En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre C r de combinaisons n n! simples est : C r = n-r! r! ( ) Remarques a) A C = A = P C b) A n n r n n r r r r Pr c) Autre notation : n n C r = r n r C n r "coefficients binomiaux". d) Sur certaines calculatrices, la touche ncr effectue ce type de calcul. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

13 .. Développement du binôme (a + b) = a + b (a + b) = (a + b) (a + b) = a + ab + b (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) = a + a b + ab + b... Exemple Développons le binôme suivant : (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) a ne s'obtient que d'une seule façon ; ( a+ b) ( a+ b) ( a+ b) ( a+ b) = a +... Autrement dit : C0 = ab s'obtient de façons différentes. On choisit un b dans une parenthèse, et un a dans les trois autres : ( a+ b) (a + b) ( a+ b) ( a+ b) =... + a b +... Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de une parenthèse parmi quatre : C = ab s'obtient de façons différentes. On choisit un b dans deux parenthèses, et un a dans les deux autres : ( a+ b) (a + b) (a + b) ( a+ b) =... + a b +... Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de deux parenthèses parmi quatre : C = ab s'obtient de façons différentes. On choisit un b dans trois parenthèses, et un a dans la dernière : (a + b) (a + b) (a + b) ( a+ b) =... + ab +... Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de trois parenthèses parmi quatre : C = b ne s'obtient que d'une seule façon. On choisit un b dans quatre parenthèses : (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) =... + b Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de quatre parenthèses parmi quatre : C = En conclusion : ( ) 0 0 a+ b = C a b + C a b + C a b + C a b + C a b 0 = a + a b+ a b + ab + b a+ b = C ab + C ab+ C ab + C ab + C ab + C ab Autre exemple : ( ) En généralisant le processus, on obtient : ( ) ( ) ( n i) 0 5 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n 0 n n n n n n n n n 0 n 0 n n n a+ b = C a b + C a b + C a b C a b + C a b + C a b n noté a + b = C a b n i= 0 n i (La démonstration de cette relation ce fait par récurrence) i Propriétés du binôme ) C = C = ) n n 0 n C n p = ) n Cn p C + C = C + n n n p p+ p+ Démonstration en exercice. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

14 Exercices (Arbre de classement) ) On lance une pièce de monnaie et on s'arrête dès qu'on a obtenu trois fois le même côté. Construire un arbre représentant cette situation. Combien y a-t-il d issues? ) Observer les figures ci-dessous. Faire une liste des critères qui les différencient et décrire à l'aide d'un arbre toutes les possibilités. Quelles figures manquent sur le dessin? ) On désire se rendre de la case A à la case X. Les seuls déplacements autorisés sont des déplacements d'une case vers la droite ou d'une case vers le bas. Combien y a-t-il de chemins différents allant de la case A à la case X? A X A ) Le diagramme ci-dessous représente des îles : A, B, C, D, E et F. Certaines d'entre elles sont reliées par des ponts. Un touriste part de l'île A et va d'île en île. Il s'arrête pour déjeuner lorsqu'il ne peut plus continuer sans repasser sur un pont qu'il a déjà traversé lors de sa promenade. Quel est le nombre de chemins différents qu'il peut prendre avant de déjeuner? X A B C D E F Exercices (Principe de décomposition) 5) a) Avec les chiffres,,5,,7,9 combien peut-on avoir de nombres de chiffres? (avec et sans répétition) b) Parmi ceux-ci, combien sont inférieurs à 00? (avec et sans répétition) c) Parmi ceux-ci, combien sont pairs? (avec et sans répétition) d) Parmi ceux-ci, combien sont impairs? (avec et sans répétition) e) Parmi ceux-ci, combien sont multiples de 5? (avec et sans répétition) ) Cette bande, partagée en 5 cases, doit être coloriée (case par case) et l'on dispose de 8 couleurs. De combien de manières peut-on procéder si deux cases adjacentes doivent être de couleurs différentes? 7) Combien y a-t-il d'issues possibles lorsqu'on lance quatre dés à faces? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

15 8) Douze joueurs d échec participent à un tournoi dans lequel chaque joueur joue une fois contre chacun des autres joueurs. Combien y a-t-il de parties disputées? Exercices (Notation factorielle) 9) Simplifier et calculer les expressions suivantes : 7! 0! 8! 00! 0!!! 8! 7!! 98!! 5! (0 )! ( )!! Simplifier les expressions suivantes : n! (n + )! (n r + )! (n )! (n )! (n r )! Exercices (Permutations) 0) Combien de «mots» différents peut-on former avec les lettres des mots suivants : (Attention, les mots formés ne doivent pas forcément avoir un sens) a) eux b) utile c) parmi? ) Soient personnes a) De combien de manières différentes peut-on les mettre en rang? b) De combien de manières peut-on les asseoir autour d'une table circulaire? c) Mêmes questions qu'en a) et b), mais avec personnes! ) a) De combien de façons, peut-on asseoir sur un banc garçons et filles? b) Même question avec la condition supplémentaire que les garçons restent ensemble et les filles aussi. c) Même question, mais les filles s'assoient ensemble. ) Combien de mots différents peut-on écrire avec les lettres du mot : a) arranger b) rire? ) Combien de numéros de plaques différents peut-on former avec les numéros de la plaque CH ) a) Combien de mots différents peut-on écrire avec les lettres du mot : ELEVES. b) Combien de ces mots commencent et finissent par E? c) Combien sont ceux où les trois E sont adjacents? d) Combien commencent par E et se terminent par S? Exercices (Arrangements / Combinaisons) ) De combien de façons peut-on former une cordée de hommes en les choisissant parmi 0 alpinistes? (l ordre à une importance!) 7) On doit envoyer 7 lettres, mais on ne dispose que de timbres. Combien y a-t-il de choix d'envoi possibles? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

16 8) Il y a 8 balles numérotées de à 8 dans une urne. Combien de nombres de chiffres peut-on former : a) avec replacement des balles dans l'urne? b) sans replacement des balles dans l'urne? 9) Combien de comités de personnes peut-on former avec 8 personnes? 0) Combien de comités de hommes et femmes peut-on former avec 7 hommes et 5 femmes? ) Une classe compte élèves. De combien de façons peut-on former : a) groupes de 8 élèves? b) 8 groupes de élèves? ) Combien un village doit-il avoir d'habitants au minimum pour que l'on soit sûr que deux personnes au moins aient les mêmes initiales? (initiales = lettres). Exercices (mélangés) Indications : Dans chaque exercice, indiquez les étapes de calculs qui font appels au principe de décomposition, aux permutations simples, permutations avec répétitions, arrangements simples, arrangements avec répétitions, combinaisons simples. ) Mademoiselle Combinatoire a le choix entre quatre confitures différentes pour étaler sur une tranche de pain, un toast et une biscotte. Combien y a-t-il de possibilités différentes sachant qu'elle peut éventuellement, en plus de la confiture, les beurrer? ) Dans l'alphabet Braille, chaque lettre ou signe est représenté par points, certains étant en relief. Combien de signes distincts peut-on ainsi composer? 5) Un questionnaire comprend 8 questions auxquelles il faut répondre par oui ou par non. Combien peut-on donner de réponses différentes avec oui et non? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

17 ) Le code de la porte d'entrée de votre immeuble est composé de chiffres (pas forcément distincts) et d'une lettre. Exemple : A 5 Combien de possibilités le concierge a-t-il pour choisir un code d'entrée? A 0 B 7) Un jeu de cartes est composé de la façon suivante : il y a familles (,,, ) de 9 cartes chacune ( A, R, D, V, 0, 9, 8, 7, ) ; et sont des cartes rouges, et sont des cartes noires. Au jass (jeu de cartes), chaque joueur reçoit 9 cartes (quand l'on joue à joueurs). Quel est le nombre de distributions différentes pour un joueur? 8) De combien de façons peut-on choisir 5 cartes dans un jeu de cartes, de manière que ces 5 cartes contiennent : a) les as? b) les as? c) les as? d) as? e) 0 as? f) as et rois? g) au moins as? Indication : Sur cartes, ne sont pas des as et cartes ne sont pas des rois! 9) Pour jouer à la Loterie Suisse, il faut cocher numéros sur une carte qui en comporte 5. a) Combien y a-t-il de possibilités? b) Parmi ces possibilités, combien permettent-elles de trouver : i) les numéros gagnants? ii) 0 numéro gagnant? iii) numéro gagnant? iv) numéros gagnants? v) numéros gagnants? vi) au moins un numéro gagnant? c) Si on joue une grille, quelle est la probabilité (en %) de cocher : i) les numéros gagnants? ii) 0 numéro gagnant? iii) numéro gagnant? 0) Pour jouer à l'euro Millions, il faut cocher 5 numéros sur une carte qui en comporte 50 et numéros sur une carte qui en comporte 9. a) Combien y a-t-il de possibilités? b) Parmi ces possibilités, combien permettent-elles de trouver : i) les 7 numéros gagnants? ( er prix) ii) 5 numéros gagnant sur une carte qui en comporte 50 et numéros sur une carte qui en comporte 9. (ème prix) iii) 5 numéros gagnant sur une carte qui en comporte 50 et 0 numéros sur une carte qui en comporte 9. (ème prix) iv) numéros gagnant sur une carte qui en comporte 50 et numéros sur une carte qui en comporte 9. (ème prix) v) 0 numéro gagnant? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

18 ) Un étudiant doit résoudre 8 problèmes sur 0 lors d'une épreuve écrite. a) Combien de choix différents peut-il faire? b) Même question en supposant qu'il doit obligatoirement résoudre : i) les premiers problèmes ii) des 5 premiers problèmes (et le reste dans les 5 derniers) ) Lorsqu'on jette 0 fois de suite une pièce de monnaie, combien de séquences différentes sont possibles? Parmi celles-ci, combien contiennent exactement fois pile? fois pile? fois pile? 0 fois pile? 0 fois pile? ) Une entreprise pharmaceutique décide d étiqueter tous ces produits avec un sigle composé trois lettres de l'alphabet. L ordre des lettres à une importance mais on peut choisir plusieurs fois la même lettre. Exemples : DFX, XDF, AAG,.. a) Combien de sigles peut-on former avec toutes les lettres de l'alphabet? b) Combien de sigles peut-on former comportant une consonne et deux voyelles? c) Combien de sigles peut-on former comportant une consonne et deux voyelles différentes? Rappel : L'alphabet français comprend lettres, dont 0 consonnes et voyelles. ) Parmi les arrangements simples de 5 lettres du mot EQUATIONS, a) Combien ne contiennent que des voyelles? b) Combien contiennent toutes les consonnes? c) Combien commencent par E et se terminent par S? d) Combien commencent par une consonne? e) Combien contiennent N? 5) Un club de football est composé de 0 joueurs dont gardiens de but. Combien d'équipes différentes de joueurs dont un gardien peut-on former? (On ne tient pas compte de la place des joueurs, sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans les buts). ) Combien de nombres de chiffres supérieurs à 000 pouvons-nous former avec les chiffres,,,5 si la répétition des chiffres : a) n'est pas permise? b) est permise? 7) a) Combien de "mots" différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot MISSISSIPPI? b) Parmi ces "mots", combien commencent et se terminent par la lettre S? 8) De combien de façons peuvent s'asseoir filles et garçons dans une rangée, sachant que les filles et les garçons doivent alterner? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

19 9) Une urne contient 5 boules blanches et boules rouges. a) Combien y a-t-il de possibilités d'extraire de l'urne boules dont deux sont blanches et l'autre rouge? b) Combien y a-t-il de possibilités d'extraire successivement de l'urne : une boule blanche, une boule rouge et une boule blanche? 0) * Soit un ensemble E contenant n éléments. Quel est le nombre de sous-ensembles de E? ) * Combien existe-t-il d'applications bijectives de l'ensemble {; ; ; } sur l'ensemble {a; b; c; d}? ) * Soit ( ) ( ) n n n... n p + n! Cp = = avec netp et p n... p n p! p! ( ) Montrer que ) C = C = ) C = C ) C + C = C + n n n n n n n 0 n p n p p p+ p+..7 Ce qu il faut absolument savoir Construire un arbre de classement d une expérience donnée Connaître la notation factorielle Connaître et comprendre le principe de décomposition Connaître la définition d une permutation simple de n éléments 5 Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre de permutations simples Connaître la définition d une permutation avec répétitions de n éléments 7 Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre de permutations avec répétitions 8 Connaître la définition d un arrangement simple de r éléments choisis parmi n 9 Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre d arrangements simples 0 Connaître la définition d un arrangement avec répétitions de r éléments choisis parmi n Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre d arrangements avec répétitions Connaître la définition d une combinaison simple de r éléments choisis parmi n Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre de combinaisons simples Connaître le développement du binôme avec la notation des combinaisons simples ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

20 . Probabilités.. Introduction Le calcul des probabilités a pour objectif un traitement mathématique de la notion intuitive de hasard. Ses origines remontent au XVII e siècle durant lequel des mathématiciens célèbres, Pascal, Fermat et Jacques Bernouilli, se sont penchés sur des questions se rapportant aux jeux de hasard. Cette association explique pourquoi les probabilités, en tant que discipline mathématique, ont toujours gardé un caractère un peu particulier. Pendant une période, elles ne constituaient en effet guère plus qu'une collection de méthodes combinatoires et algébriques. Ensuite, les probabilités ont trouvé un nombre croissant d'applications dans des domaines plus scientifiques ; d'abord dans des problèmes de statistique démographique, en théorie des erreurs d'observation et en biologie. Au XX e siècle, un nombre croissant de disciplines, qui s'étendent des sciences naturelles et techniques jusqu ' aux sciences sociales et économiques, utilisent des méthodes probabilistes et statistiques. On peut ainsi étudier de manière rigoureuse des phénomènes pour lesquels les modèles mathématiques déterministes s'avèrent inappropriés. Cette extension de la théorie des probabilités au-delà des jeux de hasard n'a été possible que grâce à un développement théorique auquel de nombreux mathématiciens ont contribué. Ce n ' est que dans la première partie du XX e siècle qu'une base axiomatique a été établie, qui attache au calcul des probabilités une théorie rigoureuse et qui en fait ainsi une branche à part entière des mathématiques... Expérience aléatoire, événements Définition Une expérience est dite aléatoire ou stochastique s'il est impossible de prévoir son résultat. En principe, on admet qu'une expérience aléatoire peut être répétée indéfiniment dans des conditions identiques son résultat peut donc varier d'une réalisation à l'autre. Exemples a) On jette un dé et l'on observe le résultat obtenu. b) Si l'on lance trois fois de suite une pièce de monnaie, on peut distinguer 8 résultats possibles : PPP, PPF,...,FFF. c) On jette une pièce de monnaie jusqu'à ce que le côté face sorte pour la première fois. Définitions L'ensemble, noté en général Ω, de tous les résultats d'une expérience aléatoire est appelé univers ou espace des résultats possibles de cette expérience. Selon la nature de cette dernière, l'ensemble Ω peut être fini (exemples a) et b) ou infini (exemple c)). Le nombre d'éléments d'un ensemble Ω est noté #Ω.,,,,5, Ω= f,pf,ppf,pppf,... #Ω = Exemples : a) Ω= { } #Ω = c) { } On appelle événement tout sous-ensemble de Ω. Un événement qui contient un unique élément de Ω est un événement élémentaire. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

21 Exemples Si on jette un dé à faces non truqué : Ω= { ; ;; ;5; } et #Ω = A est l événement "un nombre pair est tiré" alors A = { ;;} B est l événement "un nombre impair est tiré" alors B = { ;;5} C est l événement "un nombre " alors C= { ;5;} D est l événement élémentaire "le plus petit nombre" alors D= { } Rappel : opérations de la théorie des ensembles Définition Notation Illustration L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans A et dans B. A B (se lit "A inter B") A B La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui se trouvent dans A, dans B ou dans leur intersection. A B (se lit "A union B") A B Le complémentaire d'un ensemble A est l'ensemble des éléments qui ne se trouvent pas dans A. A (se lit "A barre") A La différence de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments contenus dans A, mais pas dans B. A - B (se lit "A diff. B") A B L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément Opérations sur les événements Les événements associés à une expérience aléatoires étant par définition des sous-ensembles de l'univers Ω, il est naturel de définir des opérations sur les événements à l'image des opérations de la théorie des ensembles. Ainsi : A B est appelé événement "A et B" (réalisation de A et B) A B est appelé événement "A ou B" (réalisation de A ou B ou que les deux se réalisent) A est appelé événement "contraire de A" (non réalisation de A) A - B = événement "A mais pas B" (réalisation de A mais pas de B) Deux événements A, B sont dits incompatibles s'ils ne peuvent êtres réalisés simultanément, c'està-dire si A B=. Exemples A C = { ; ;5;} = événement "un nombre pair ou plus grand que quatre". B C= { 5} = événement élémentaire "un nombre impair et plus grand que quatre". C= { ;;} = événement "un nombre plus petit que quatre". B C= { ;} = événement "un nombre impair mais pas plus grand que quatre". A B = les deux événements sont incompatibles (un nombre ne peut pas être pair et impair à la fois) P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A