EXERCICES : DÉNOMBREMENT

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1 Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris etre 0 et Toto a oublié so code. Combie de combiaisos doit-il essayer das le pire des cas avat de retrouver la boe?. Même questio e supposat que Toto se souviet que so code commece par u 8.. Même questio e supposat que Toto se souviet que so code se termie par u chiffre pair.. Même questio e supposat que Toto se souviet que so code e cotiet que des chiffres pairs. 5. Même questio e supposat que Toto se souviet que so code e cotiet que des chiffres impairs.. Même questio e supposat que Toto se souviet que so code cotiet au mois u chiffre pair. 7. Même questio e supposat que Toto se souviet que so code cotiet exactemet u chiffre pair. Exercice : Listes de mots O s itéresse ici aux mots que l o peut écrire avec les lettres de l alphabet, u mot état ue suite de lettres ayat pas écessairemet de ses. 1. Combie de mots de deux lettres existe-t-il?. Combie de mots de deux lettres idetiques existe-t-il?. Combie de mots de deux lettres différetes existe-t-il? O doera, pour cette questio, deux méthodes différetes.. Combie de mots de deux lettres ot leurs lettres das l ordre alphabétique? 5. Repredre les questios 1 et pour des mots de lettres ( N quelcoque). Exercice : Avec le baladeur mp Mo lecteur mp cotiet morceaux de musique et ue de ses foctios permet d e écouter différets au hasard. 1. Combie de possibilités existe-t-il pour cette écoute aléatoire de morceaux?. Combie de possibilités existe-t-il si l o suppose que le premier morceau joué est mo morceau préféré?. Combie de possibilités existe-t-il si l o suppose que mo morceau préféré e figure pas parmi les morceaux joués?. Combie de possibilités existe-t-il si l o suppose que les morceaux joués sot mes préférés? 5. Combie de possibilités existe-t-il si l o suppose qu aucu de mes morceaux préférés e figure parmi les morceaux joués?. Quelle est la probabilité pour que les morceaux joués soiet mes préférés? Exercice : Esemble de ombres Soit E l esemble des ombres a quatre chiffres e comportat aucu chiffre 0. Calculer : 1. le ombre d élémets de E ;. le ombre d élémets pairs de E ;. le ombre d élémets de E qui ot quatre chiffres différets ;. le ombre d élémets de E qui sot multiples de 5. FACTORIELLES / COMBINAISONS Exercice 5 : Factorielles Simplifier les expressios suivates (o précisera le bo quatificateur pour ) : 7!! 1! 11! ( + 1)!! ( + )!!! ( )! ( + 1)! ( )! +! ( 1)!

2 Chapitre 7 : DÉNOMBREMENT ECE 1 - Grad Nouméa Exercice : Factorielles Écrire avec des factorielles les expressios suivates : ( + 1)( + ) ( + 1)( + ) ( + 1)( + ) () Exercice 7 : Coefficiets biomiaux Calculer les coefficiets biomiaux suivats : ( ) ( ) ( ) ( ) a = b = c = d = e = ( ) 7 f = ( ) 15 g = ( ) 15 1 Exercice 8 : Coefficiets biomiaux Calculer les coefficiets biomiaux suivats : ( ) ( ) ( ) 1 h = i = j = 0 1 = ( ) 17 1 l = ( ) 5 m = ( ) 1 1 Exercice 9 : Nombres de parties d u esemble Soit E = {a, b, c, d, e}. 1. Combie E a-t-il de parties à élémets?. Expliciter ces parties. Exercice 10 : Nombres de parties d u esemble U esemble E a 55 parties à élémets. Quel est le cardial de E? Exercice 11 : Avec des cartes O cosidère des mais de trois cartes choisies das u jeu de cartes. 1. Quel est le ombre total de mais?. Combie existe-t-il de mais e coteat que du carreau?. Combie y a-t-il de mais e coteat que des cartes rouges?. Combie y a-t-il de mais coteat au mois u roi? 5. Combie y-a-t-il de mais coteat exactemet u roi?. Combie y-a-t-il de mais coteat trois rois? 7. Combie de mais cotieet exactemet deux rois? 8. Combie de mais cotieet deux rois et u as? 9. Combie de mais cotieet u roi rouge, u roi oir, et u as? Exercice 1 : Avec des cartes O cosidère des mais de ciq cartes choisies das u jeu de cartes. 1. Quel est le ombre total de mais?. Combie existe-t-il de mais e coteat que du carreau ou du cœur?. Combie y a-t-il de mais e coteat que des cartes rouges?. Combie y a-t-il de mais coteat au mois u roi? 5. Combie y-a-t-il de mais coteat exactemet u roi?. Combie y-a-t-il de mais coteat au mois deux as? 7. Combie y-a-t-il de mais coteat deux as? 8. Combie de mais cotieet deux cœurs et trois trèfles? Exercice 1 : Avec des lettres Das cet exercice, o appelle mot toute suite de lettres, qu il ait u ses ou o. 1. Combie de mots de lettres e coteat que des a et des b existe-t-il?. Combie de mots de lettres coteat 1a et 5b existe-t-il?. Combie de mots de lettres coteat a et b existe-t-il?. Combie de mots de lettres coteat a et b existe-t-il? 5. Plus gééralemet, soit (, u, v) N tel que = u + v. Combie de mots de lettres coteat u lettres a et v lettres b existe-t-il?

3 Chapitre 7 : DÉNOMBREMENT ECE 1 - Grad Nouméa Exercice 1 : Développer Exercice 15 : Développer Exercice 1 : Développer (a + b) 7 (a b) (1 + ) + (1 ) Exercice 17 : Foctio défiie par ue somme O pose 1. Calculer f (x).. E déduire x 1 Exercice 18 : Des sommes... Calculer : A = B = Exercice 19 : Puissaces de matrices ( ) 1 O cosidère la matrice A =. 0 1 f (x) = x C = 1. Écrire A sous la forme A = I + N où N est ue matrice à préciser.. Vérifier que N = 0.. E déduire A pour N. D = ( 1) Exercice 0 : Puissaces de matrices O cosidère la matrice Calculer A pour N. A = ( 1 1 )

4 Chapitre 7 : DÉNOMBREMENT ECE 1 - Grad Nouméa EXERCICES COMPLÉMENTAIRES Exercice 1 : Das ue ure : tirages avec remise Ue ure cotiet 7 boules oires et 5 boules rouges. O effectue 5 tirages successifs avec remise. 1. Combie y a-t-il de tirages différets possibles?. Combie y a-t-il de tirages avec aucue boule oire?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet 1 boule oire?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires? 5. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires? 7. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet 5 boules oires? 8. Combie y a-t-il de tirages avec au mois boules oires? 9. Combie y a-t-il de tirages avec au plus 1 boule oire? Exercice : Das ue ure : tirages sas remise Ue ure cotiet 7 boules oires et 5 boules rouges. O effectue 5 tirages successifs sas remise. 1. Combie y a-t-il de tirages différets possibles?. Combie y a-t-il de tirages avec aucue boule oire?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet 1 boule oire?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires? 5. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires? 7. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet 5 boules oires? 8. Combie y a-t-il de tirages avec au mois boules oires? 9. Combie y a-t-il de tirages avec au plus 1 boule oire? Exercice : Das ue ure : tirages simultaés Ue ure cotiet 7 boules oires et 5 boules rouges. O tire simultaémet 5 boules de l ure. 1. Combie y a-t-il de tirages différets possibles?. Combie y a-t-il de tirages avec aucue boule oire?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet 1 boule oire?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires? 5. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires?. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet boules oires? 7. Combie y a-t-il de tirages avec exactemet 5 boules oires? 8. Combie y a-t-il de tirages avec au mois boules oires? 9. Combie y a-t-il de tirages avec au plus 1 boule oire? Exercice : Au poer Le poer se joue avec u jeu de 5 cartes, o distribue à chaque joueur ue «mai» de 5 cartes. 1. Déombrer le ombre de mais possibles.. Déombrer le ombre de mais qui cotieet : a) u carré d as ( as). b) u carré ( cartes de même hauteur). c) u full ( cartes de même hauteur et autres cartes de même hauteur). d) u brela ( cartes de même hauteur sas full i carré). e) ue quite flush (5 cartes cosécutives et de même couleur). f ) ue couleur (5 cartes de même couleur sas quite flush). g) exactemet rois et cœurs.

5 Chapitre 7 : DÉNOMBREMENT ECE 1 - Grad Nouméa Exercice 5 : Le loto sportif Au loto sportif, le joueur remplit ue grille das laquelelle il idique ses prévisios pour 1 matchs de football à veir. Pour chaque match, il peut cocher au choix ue case sur les dispoibles : «1» pour ue victoire de l équipe 1, pour ue victoire de l équipe, et «0» pour u match ul. À l issue de chacu des 1 matchs, ue et ue seule de ces réposes sera réalisée. 1. De combie de faços u parieur peut-il remplir sa grille?. Déombrer les grilles pour lesquelles à l issue des matchs : a) toutes les réposes sot exactes. b) toutes les réposes sot fausses. c) exactemet réposes sot exactes.. Pour gager, il faut avoir coché au mois 10 réposes exactes. Combie y a-t-il de grilles gagates? Exercice : Le problème des tours Le jeu d échecs se joue sur u échiquier de 8 liges et 8 coloes. Les tours peuvet predre toute pièce qui est située das leur lige ou das leur coloe. 1. De combie de faços peut-o placer 8 tours idetiques, de sorte qu aucue d etre elles e soit meacée par les autres?. De combie de faços peut-o placer tours idetiques, {1,..., 8}, de telle maière qu aucue d etre elles e soit meacée par les autres? Exercice 7 : Das ue ure, tirages sas remise Ue ure cotiet boules umérotées de 1 à. O effectue tirages successifs, sas remise, d ue boule et o ote le uméro correspodat. O obtiet qisi ue liste de ombres. 1. Quel est le ombre de résultats possibles?. Quel est le ombre de suites croissates que l o peut obteir? Exercice 8 : Le loto Le jeu du loto cosiste à choisir u sous-esemble de ombres de l esemble {1,...,9}. 1. Détermier le ombre de combiaisos possibles.. Détermier le ombre de combiaisos comportat au mois ombres cosécutifs. Exercice 9 : Des permutatios O ote F = [[1, ]]. 1. Soit u etier aturel o ul et A = {a 1, a,...,a } ue partie de F à élémets. Combie y a-t-il de permutatios laissat ivariats les élémets de A.. Combie y a-t-il de permutatios e laissat aucu élémet de F ivariat? Exercice 0 : E sport Lors de la fiale de 100 m des modiaux d athlétisme, 8 coureurs s élacet. Trois d etre eux sot américais. Les trois premiers arrivés motet sur le podium das leur ordre d arrivée. 1. Combie y a-t-il de podiums possibles?. Combie y a-t-il de podiums 100% américais?. Combie y a-t-il de podiums compreat au mois u américai?. Combie y a-t-il de podiums compreat exactemet deux américais? Exercice 1 : Combiaisos Détermier le ombre de triplets (x, y, z) N tels que : x + y + z = p où p est u etier aturel doé Idicatio : o iterprétera le problème posé e terme de p-combiaisos d u esemble à trois élémets. 5