Développer, factoriser pour résoudre

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1 Développer, factoriser pour résoudre Avec le vocabulaire Associer à chaque epression un terme A B A différence produit A+ B A B inverse quotient A B A opposé somme Écrire la somme de et du carré de + Écrire le quotient de par la somme de et de Avec des transformations Donner dans chaque cas la bonne réponse ( ) est égal à : a b 0 c d ( ) est égal à : a + b c d + + est égal à : a b + c + d autre La forme factorisée de + 9 est : a ( + ) b ( ) ( + ) c ( ) d ( )+ 9 Avec l égalité «Est-il vrai que, pour n importe quelle valeur de, on a 0+ = 7?» Léa a répondu : «Oui, c est vrai En effet, si on remplace par, on a : 0 + = 7 et 7 = 7» Myriam a répondu : «Non, ce n est pas vrai En effet, si on remplace par 0, on a = et 7 0 =» Une de ces deu élèves a donné un argument qui permet de répondre de façon correcte à la question posée dans l eercice Indiquer laquelle en epliquant pourquoi Avec des équations Donner dans chaque cas la (ou les) bonne(s) réponse(s) est solution de l équation : a = 0 b = 0 c + = L équation = 7+ 6 a pour solution a b 9 c d L équation ( + ) ( )= 0 a pour solution(s) : a 0, et b c d 0, et 8

2 Égalité : pour tout ou pas? Voici des algorithmes de calcul associés à quatre fonctions f, g, h et k Comprendre ce que signifie une égalité «pour tout» et comment la démontrer Travailler la notion d équation et de solution Fonction f ajouter multiplier par soustraire 6 Fonction h élever au carré soustraire le nombre de départ ajouter Fonction g ajouter élever au carré soustraire soustraire le carré du nombre de départ Fonction k soustraire élever au carré multiplier par ajouter le double du cube du nombre de départ Calculez les images de et de par chacune des fonctions f, g, h et k Qu observez-vous? Formulez une conjecture Calculez les images de par chacune des fonctions f, g, h et k Confirmez-vous votre conjecture? Sinon, faites une nouvelle conjecture Calculez les images de par chacune des fonctions f, g et k Confirmez-vous votre conjecture? Sinon, faites une nouvelle conjecture Peut-on être sûr de cette conjecture? Reconnaître la structure d une epression Préparer les factorisations et la résolution des équation produit ou équation quotient Aide Reconnaître la structure d une epression a Recopier l arbre de calcul ci-contre (ou l imprimer sur le site) et compléter les cases oranges par les résultats des opérations indiquées dans les cases vertes b L epression obtenue à la fin est-elle une somme ou un produit? De quels termes ou de quels facteurs? c Dresser un arbre amenant à ( + )+ à partir de : Est-ce une somme? un produit? Recopier les epressions ci-dessous Entourer : en bleu celles qui sont des sommes, en rouge celles qui sont des produits, en vert celles qui sont des quotients + a a + b ( + )+ c ( + ) ( ) d ( + ) e + f g ( + ) h ( + ) ( ) ( ) i ( + ) j ( ) 8

3 Choisir la bonne forme Interpréter graphiquement puis démontrer une égalité pour tout Anticiper un calcul pour choisir la «bonne forme» Représenter graphiquement sur le même écran de la calculatrice les fonctions f, g et h définies sur R par : f ( )= 8 ; g( )= ( ) ( + ) ; h( )= ( ) 9 Qu observe-t-on? Epliquer et démontrer Calculer f ( 0), f (), f ( ), f ( ) en choisissant à chaque fois l epression qui demande le moins de calcul Revoir ce que signifie «être solution d une équation» Résoudre graphiquement une équation Introduire la notion d équations équivalentes Trois stratégies pour une équation Pour résoudre l équation ( 6 )=, trois élèves procèdent différemment : Théo : Je prends ma calculatrice Je rentre X( 6X ) en Y et X en Y Je règle le pas de la table de valeurs à 0, en partant de et j eplore la table de valeurs pour trouver quand Y et Y sont égales Manon : Je prends ma calculatrice Je rentre X( 6X ) en Y et X en Y Je trace les courbes et j utilise l outil Trace de ma calculatrice Karim : Moi j écris ( 6-= ), je simplifie par et je finis les calculs a Quelle(s)solution(s) chaque élève va-t-il donner? b Préciser s il s agit de solutions eactes ou approchées Citer des avantages et des inconvénients de chacune des méthodes utilisées Introduire les «équations produits» et les «équations quotients» Utiliser ET et OU et préciser leur sens Équation produit et équation quotient a Entrer sur une calculatrice les trois fonctions f :, g :, h : ( ) ( ) b Faire afficher la table de valeurs à partir de - avec un pas de 0, c Lire sur cette table des valeurs de telles que h( )= 0 Que constate-t-on sur f ( ) et g( ) pour ces valeurs de? d Eiste-t-il d autres valeurs de telles que h( )= 0? Pourquoi? e Pour quelles valeurs de a-t-on ( + ) ( )= 0? a Modifier la fonction h sur la calculatrice en h : b Dans la table de valeurs, déterminer : une valeur de telle que h( )= 0 ; une valeur de telle que le calcul de h( ) renvoie un message d erreur Que constate-t-on sur f ( ) ou g( ) dans chaque cas? Epliquer c Si on entre sur la calculatrice la fonction définie par ( + )= 6, pour quelle(s) valeur(s) de aura-t-on un message d erreur dans la table de valeurs? Pour quelle(s) valeur(s) de aura-t-on ( )= 0? Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 8

4 Égalité «pour tout» et équation A Égalité «pour tout» Un nombre possède plusieurs écritures Par eemple, 0, ; ; ; 0 sont différentes 00 écritures d un même nombre De même plusieurs epressions algébriques peuvent correspondre à la même fonction Égalité «pour tout» Quelle que soit la valeur par laquelle on remplace dans les epressions ( ) ( + ), 8, ( ) ( + ) on obtient le même résultat On écrit : pour tout réel, ( ) ( + ) 0= 8= ( ) ( + ) Soit f la fonction définie sur par f ( )= ( ) ( + ) 0 On a aussi f ( )= 8 et f ( )= ( ) ( + ) pour tout réel Pour calculer des images ou antécédents par f, pour étudier des propriétés de f, on peut utiliser l une ou l autre de ces epressions, la mieu adaptée Eemple On calcule facilement f ( ) avec f ( )= ( ) ( + ) car f ( )= ( ) ( + )= 0 B Équation Les epressions et ne sont pas égales pour tout réel Par eemple, pour = 0, prend la valeur et la valeur En revanche, pour =, on a = = et = = Quand prend la valeur, on a bien l égalité = : on dit que est solution de l équation = Résoudre une équation c est chercher toutes les solutions de cette équation Développer, factoriser Développer une epression c est l écrire sous la forme d une somme Factoriser une epression c est l écrire sous la forme d un produit A Les propriétés Pour tous réels k, a, b, c, d : distributivité développer k ( a+ b)= k a+ k b factoriser double distributivité développer ( a+ b) ( c+ d)= a b+ a d+ b c+ b d identités remarquables développer ( a+ b) = a + a b+ b ( a b) = a a b+ b ( a+ b) ( a b)= a b factoriser Attention, il ne faut pas confondre : ( ) = ( ) = = 9 et ( + ) = + + =

5 Égalité : pour tout ou pas? Énoncé Les égalités suivantes sont-elles vraies pour tout réel? a + + = + b ( + ) ( ) = Solution a On peut tester sur quelques valeurs : pour = 0, on a bien + + = et + = pour =, on a aussi + + = et + = pour =, + + = 7 mais + = et 7 Donc l égalité n est pas vraie pour tout réel b On peut tester «à la main» ou à la calculatrice avec Y= ( X + ) ( X ) et Y = X L égalité semble vraie pour les valeurs de choisies Démontrons-la en développant : pour tout réel, ( + ) ( ) = ( ) donc ( + ) ( ) = Donc ( + ) ( ) = pour tout réel Méthode Pour démontrer que deu epressions : ne sont pas «égales pour tout», il suffit de trouver une valeur de pour laquelle il n y a pas égalité : c est un contre-eemple ; sont «égales pour tout», des eemples ne suffisent pas Il faut le démontrer par le calcul algébrique («avec») Voir eercices et Développer puis choisir la bonne forme Énoncé AB=8 et M appartient à [ AB] AMEF et MBGH sont des carrés On pose = AM avec [ 0;8 ] L aire totale de la figure est ( )= + ( 8 ) F E H G Démontrer que, pour tout de [ 0;8], ( )= 6+ 6 et ( )= + ( ) Calculer ( ) puis montrer que ( ) ( ) pour tout de [ 0;8] Interpréter en terme d aire Solution Développons «à la main» ou avec un logiciel l epression de ( ) Pour tout de [ 0;8], ( )= + ( 8 ) ( )= Avec Xcas ( )= 6+ 6 De même, pour tout de [ 0;8], + ( ) = ( + )= On retrouve la même epression donc, pour tout de [ 0;8], ( )= + ( ) Utilisons la dernière epression de ( ) : ( )= + 0= Un carré est toujours positif ou nul donc ( ) l est aussi De ( )= + ( ), on déduit que ( ) donc ( ) ( ) pour tout de [ 0;8] L aire est minimale pour = donc pour M milieu de [ AB] A M Méthode Pour démontrer que pour tout réel, f( )= g( ), on peut transformer : f ( ) pour arriver à g( ) g( ) pour arriver à f ( ) f ( ) et g( ) pour arriver à une même e epression (comme dans cet eercice) f( ) g( ) pour obtenir 0 Conseil Bien observer les epressions de f ( ) pour choisir celle qui est la mieu adaptée à la question posée B Voir eercices 0 et Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 8

6 B En pratique : comment factoriser une epression? Méthode On peut aussi factoriser en utilisant un logiciel de calcul formel, voir eercice résolu page suivante Pour factoriser une epression «à la main» on analyse sa structure et on se pose un certain nombre de questions Q : Est-ce une somme (ou une différence)? De combien de termes? Q : Chaque terme est-il un produit ou peut-on l écrire comme un produit? Quels sont les facteurs dans chaque terme? Y a-t-il un facteur commun à tous les termes? Sinon, Q : Peut-on utiliser une identité remarquable? Sinon, Q : Peut-on factoriser d abord une partie de l epression pour faire apparaître un facteur commun ou une identité remarquable? Sinon, on développe en espérant pouvoir ensuite factoriser Eemple Factoriser f ( )= ( + ) ( )+ ( + ) Q Cette epression est une somme de deu termes f ( )= ( + ) ( ) + ( + ) Q Chaque terme est un produit de deu facteurs f ( )= ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) est un facteur commun au deu termes f ( )= ( + ) ( ) + ( + ) On factorise f ( )= ( + ) (( ) + ) On réduit le second facteur f ( )= ( + ) ( + ) pour tout réel Eemple Factoriser g( )= 6 ( + ) Q C est une différence de deu termes g( )= 6 ( + ) Q Les termes sont des produits sans facteur commun Q On a une différence de deu carrés a b g( )= ( ) ( + ) On utilise a b = ( a b) ( a+ b) g( )= (( ) ( + ) ) ( ( )+ ( + ) ) On réduit chaque facteur g( )= ( ) ( + + ) g( )= ( ) ( + ) pour tout réel Eemple Factoriser h( )= 9+ ( ) Q, Q, Q : h( ) est une somme de trois termes On ne voit ni identité remarquable ni facteur commun Q On peut factoriser 9 : 9= ( ) ( + ) Ceci fait apparaître ( ) h( )= ( ) ( + ) + ( ) comme facteur commun dans h( ) h( )= ( ) ( + ) + ( ) et permet de factoriser h( )= ( ) (( + ) + ) On finit en réduisant h( )= ( ) ( + 6 ) pour tout réel 86

7 Énoncé Factoriser des epressions algébriques Factoriser : a + + b + 6 c ( + ) Solution d 9 + e ( + ) ( + ) f + a C est une somme de trois termes dans laquelle on reconnaît la forme a + ab+ b : + + =( ) + + = ( + ) pour tout réel b C est une somme de deu termes, chacun est un produit et le facteur est en commun : + 6 = + 6 = ( + 6) donc + 6 = ( + 6) pour tout réel c C est une différence de deu carrés de la forme a b : ( + ) = ( + ) = (( + ) ) (( + ) + )= ( ) ( + 6 ) pour tout réel d C est une somme de trois termes dans laquelle on reconnaît la forme : a ab+ b 9 + = ( ) + = ( ) pour tout réel e ( + ) ( + )= ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) (( + ) ) = ( + ) ( ) pour tout réel f + est une somme de deu termes, mais n est pas un produit! On écrit = pour obtenir un produit, d où : + = + = ( + ) pour tout réel Aides est le produit est le produit En particulier = Voir eercices à Énoncé Factoriser «à la main» par étapes ou avec un logiciel Factoriser : a f ( )= b g( )= ( + ) ( )+ + c h( )= 0+ 0 d p( )= 8+ Solution a f ( )= = = ( )= ( )( + ) pour tout réel b On factorise d abord + en ( + ) : g( )= ( + ) ( )+ ( + ) Ceci fait apparaître ( + ) comme facteur commun donc g( )= ( + ) ( + ) On réduit : g( )= ( + ) ( ) pour tout réel c On factorise d abord 0+ 0 en ( 0+ ) Ceci fait apparaître 0 + ( ) qu on peut factoriser en utilisant une identité remarquable : h( )= ( 0+ )= ( ) pour tout réel d p( ) est une somme de trois termes mais ce n est pas une identité remarquable, il n y a pas de facteur commun et pas de factorisation partielle immédiate! On peut utiliser un logiciel de calcul formel comme Xcas Pour aller plus loin On pourrait «à la main» partir de l identité remarquable 8+ 6= ( ) et écrire ( ) = p ( )+ On en déduit que p( )= ( ) = ( ) ( + )= ( 6) ( ) Voir eercices à 7 Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 87

8 Résoudre graphiquement une équation Soit k un nombre réel et f et g deu fonctions Équation f( )= k Équation f g Eemple : f ( )= Eemple y y = y ( )= ( ) f O 0, g Les solutions sont et Méthode générale On place k sur l ae ( Oy) On repère tous les points de la courbe d ordonnée k On lit leurs abscisses : ce sont les solutions f O La solution est Méthode générale On repère les points communs au deu courbes On lit les abscisses de ces points : ce sont les solutions Résoudre algébriquement une équation Si deu équations (E) et ( E ) sont équivalentes, on note : () E ( E ) On lit (E) équivaut à ( E ) si et seulement si traduit aussi une équivalence : voir page Deu équations sont dites équivalentes quand elles ont les mêmes solutions Propriété Pour transformer une équation en une équation équivalente, on peut utiliser les transformations suivantes : T : Développer, factoriser, réduire certains termes T : Ajouter ou soustraire un même terme à chaque membre de l équation T : Multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre non nul Équations du premier degré Ce sont celles qui s écrivent sous la forme a+ b= c+ d (a, b, c, d sont des réels) On peut les résoudre directement grâce au transformations ci-dessus Autres équations Si après développement l équation est équivalente à une équation du premier degré, on développe puis on résout Sinon on transforme l équation en une équation équivalente dont un membre est nul pour pouvoir appliquer les propriétés suivantes Propriétés Un produit est nul si et seulement si l un de ses facteurs est nul : = 0 si et seulement si = 0 OU = 0 Un quotient est nul si et seulement si son numérateur et nul et son dénominateur non nul : = 0 si et seulement si = 0 ET π 0 88

9 Énoncé Résoudre une équation du premier degré Résoudre l équation ( + ) = Solution L équation ( + ) = équivaut à + = à + = à + = à = à = = Cette équation a pour seule solution T : on développe le er membre T : on soustrait à chaque membre T : on réduit le er membre T : on soustrait à chaque membre T : on divise par chaque membre Aide Résoudre une équation du second degré Méthode Pour résoudre une équation du er degré : on développe et on réduit si nécessaire chaque membre on isole les inconnues dans un membre on finit la résolution (en appliquant T ) Voir eercices 67 à 7 6 Résoudre graphiquement puis par le calcul Énoncé Résoudre les équations suivantes graphiquement puis par le calcul a E : b E : ( ) + = ( ) + = ( ) Solution a On représente les fonctions f et g telles f ( )= + et g( )= Les courbes (écran ) semblent avoir deu points d intersection d abscisses 0 et environ, On conjecture deu solutions à l équation : 0 et environ, Par le calcul Cette équation n est pas du premier degré On rassemble les termes dans le er membre pour obtenir un nd membre égal à 0 (T ) : ( E ) + = 0 On factorise (T ) : ( E ) ( + )= 0 Un produit est nul si et seulement si l un des facteurs est nul : ( E ) = 0 OU + = 0 ( E ) = 0 OU = écran Méthode Pour conjecturer les solutions d une équation, on peut utiliser les courbes tracées par la calculatrice et l outil Trace Attention, rien ne dit qu il n y a pas d autres solutions en dehors de l écran! Il y a deu solutions : 0 et (lu, graphiquement) b On peut conjecturer graphiquement comme solution (écran ) mais il est difficile de lire sur la calculatrice le nombre de solutions Cette équation équivaut à une équation du er degré après développement et réduction (T ) : ( E ) + + = ( E ) = écran L équation a en fait pour seule solution Voir eercices 6 à 6, 8 à 87 Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 89

10 Travau pratiques Une longueur minimale Déterminer le minimum d une fonction On veut réserver une zone rectangulaire d aire 800 m² pour créer une cressonnière au bord d une rivière On souhaite l entourer de grillage sauf le long de la rivière Problème étudié Quelles sont les dimensions de la zone qui nécessitent le moins de grillage possible? ABCD représente la cressonnière On note et y les longueurs en mètres de ses côtés et L( ) la longueur du grillage Quelle information possède-t-on sur le rectangle ABCD? En déduire y en fonction de Démontrer que pour tout 0, L( )= Conjecturer à l aide de la courbe de L la longueur minimale m de grillage nécessaire Démontrer ce résultat en écrivant L( ) m sous une forme adaptée B A y C D Pour aller plus loin Le grillage doit être acheté par rouleau de longueur 0 m On veut acheter le moins de grillage possible et ne pas découper le grillage! Quelles dimensions peut avoir la zone? ( )( ) Aide : On démontrera que, pour tout 0, L( ) 0 = 60 Couper en, encore et encore : la dichotomie Résoudre une équation par dichotomie A Le «juste pri» Un élève volontaire V choisit le pri entier P en euros d un objet entre 0 et 6 Il le note sur un papier mais ne le dit pas à la classe La classe doit trouver ce pri selon la règle ci-dessous : On notera au tableau le n de l étape et l intervalle dans lequel se trouve le pri Étape : Un élève propose le pri «du milieu» : 8 V répond : «c est plus cher», «c est moins cher» ou «c est juste» On note au tableau le n de l étape, le pri proposé et l intervalle dans lequel se trouve le pri cherché Étape : Un élève propose à nouveau le pri «du milieu» et on continue comme à l étape On continue ainsi jusqu à trouver le juste pri et on indique le nombre de propositions qu il a fallu faire pour le trouver Jouer ou fois à ce jeu en changeant le pri P choisi Calculer les longueurs des intervalles à chaque étape Que constate-on? 90 Dichotomie vient du grec et signifie «coupure en deu parties»

11 Travau pratiques B Résolution approchée d une équation On ne sait pas résoudre en classe de seconde l équation = On peut chercher en revanche une valeur approchée de la solution (ou des solutions) Localisation des solutions a Avec la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la fonction f : et le nombre de solutions de l équation f ( )= On admettra ces deu conjectures pour la suite b Vérifier que la solution appartient à l intervalle [ a ; b]= [, ; ] c De quelles façons pourrait-on procéder avec la calculatrice pour obtenir une valeur approchée à 0 près de la solution? à 0 près? à 0 près? (Ne pas le faire) Une dichotomie à la main a Étape : On propose le milieu,6 de l intervalle [, ; ] Calculer f (, 6) à la calculatrice Est-il plus petit ou plus grand que? Dans quel intervalle se trouve la solution : [, ; 6, ] ou [ 6, ; ]? b On continue de même Recopier et compléter le tableau pour les 6 premières étapes ( ) La solution appartient à a b Étape n Proposition L image est ou [ ; ] avec début a =, b =,6 a = b = c Quelle valeur approchée de la solution à 0 - près peut-on fournir? à 0 près? Un algorithme pour aller plus loin On souhaite écrire un algorithme qui affiche l intervalle obtenu après un nombre suffisant d étapes pour que la longueur de cet intervalle soit inférieure à une longueur donnée Par eemple, si on veut une valeur approchée de la solution 0,0 près, on choisira = 0, 0 Recopier et compléter l algorithme suivant : a, b, p, nombres Saisir les bornes a et b de l intervalle de départ ( a b) et saisir la longueur souhaitée TRAITEMENT : Tantque b a Faire ( a+ b) p = VARIABLES : ENTRÉES : SORTIES : Si p Alors a prend la valeur Sinon prend la valeur FinSi FinTantque Afficher a et b Les équations que l on sait résoudre de façon eacte en seconde sont de types très particuliers Les mathématiciens eu-mêmes savent résoudre beaucoup d équations de façon eacte mais pas toutes! De nombreu problèmes concrets, par eemple concernant la recherche spatiale, conduisent à des équations très complees, souvent en grand nombre Les mathématiciens développent alors des algorithmes pour trouver avec de puissants ordinateurs des valeurs approchées des solutions Pour aller plus loin Programmer l algorithme et donner une valeur approchée de la solution de = à 0 près Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 9

12 Travau pratiques Créer une jauge Résoudre un problème concret à l aide des TICE (Geoplan-Geospace, logiciel de calcul formel) Problème étudié Créer une jauge sur la partie transparente de la boîte indiquant le volume de sucre contenu dans la boîte en indiquant par des graduations tous les 0 cm le volume de sucre qu elle contient (on suppose la boîte posée sur une surface plane horizontale) M E F H G Q N P D A C B On modélise la boîte par le solide ABCDEFGH représenté ci-dessus dont les faces sont des rectangles ou des trapèzes rectangles De plus, AB = 0 cm, AE = 9 cm, EF = cm, AD = cm A Préliminaire Reproduire la face ABFE en vraie grandeur avec AM = cm On souhaite créer la jauge en indiquant sur le segment [ AE] les volumes correspondants à différentes hauteurs de sucre B En eplorant la figure sur Geospace Ouvrir la figure disponible sur le site a Créer un point M libre sur [ AE] et le plan p parallèle au plan ( ABC) passant par M b Faire afficher la longueur AM a Créer N, P, Q puis le solide ABCDMNPQ b Faire calculer et afficher le volume de ABCDMNPQ Proposer une façon de créer la jauge Appelez le professeur pour montrer votre travail C En utilisant une epression algébrique Soit h = AM en cm Le volume de sucre en cm est V( h)= h + 0h Proposer d autres façons de créer la jauge Créer la jauge à l aide d un logiciel de calcul formel Epliquer la démarche sur un eemple Aide Geospace Créer, Points, Points libres, Sur un segment Créer, Plan, Parallèle à un plan Créer, Affichage, Longueur d un segment Calculer le volume par : Créer, Numérique, Calcul géométrique, Volume d un solide Le faire afficher par : Créer, Affichage, Variable numérique déjà définie Pour aller plus loin Placer O point d intersection des droites ( AE) et ( BF) et calculer MN en fonction de h Donner la nature du solide ABCDMNPQ et retrouver l epression de V( h) en fonction de h D après académie de Nantes 9

13 Sans crayon, sans calculatrice Calculer : a b Calculer : a 0 % de 70 b 0 % de 00 Calculer : a 90 % de 800 b 99 % de 00 Évaluer,6 % de 0 De quel pourcentage augmente-t-on un pri quand on le multiplie par,? 6 Calculer les coordonnées du milieu de [ AB] avec : A( ; ) et B6 ( ; ) 7 ABC est un triangle rectangle en A AB = et BC = 6 Calculer AC 8 Réduire 9 Le point A( ; ) appartient-il à la droite d équation y= +? 0 Calculer l angle ACD de la figure ci-contre Développer : a ( ) b ( ) ( + ) Développer : a ( ) b ( 7) Quel est le terme en obtenu en développant et réduisant ( + ) + ( )? Quel est le terme en obtenu en développant et réduisant ( + ) ( )? Développer et réduire ( + ) ( + ) 6 On sait que : a b= et a+ b= Calculer a b 7 Factoriser : a b 6 8 Factoriser ( + ) + ( + ) 9 Résoudre l équation + = 0 Résoudre l équation + = 0 A B 60? C D Entraînement Égalité «pour tout» ou équation? Ces deu programmes donnent-ils toujours le même résultat quand on les applique à des nombres réels? Programme Soustraire Élever au carré Ajouter Programme Soustraire Multiplier par le nombre de départ Ajouter Soit f ( )= et g( )= sur Calculer les images de, 0 et par f et g A-t-on f( )= g( ) pour tout réel? Tracez sur la calculatrice les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur par f ( )= ( ) ( + ) et g( )= ( + ) Que constatez-vous? Epliquez Aide : eercice résolu Vrai ou fau? a + = + pour tout réel b = ( ) + + Aide : eercice résolu ( ) pour tout réel Apprendre à contrôler ses calculs Soit f la fonction définie sur par f ( )= ( ) ( + ) Hélios a développé f ( ) en et Manon en Calculer l image de 0 d après ces trois formes Que peut-on en déduire pour Hélios et Manon? Calculer l image de par f Qu en déduit-on? Conseil : des tests simples, par eemple sur l image de 0 permettent de repérer certaines erreurs, mais pas toutes 6 Parmi les nombres ; ; 0 ; ; ; quels sont ceu qui sont solutions de l équation? a + = b = 0 c + = d = 7 Vérifier que et sont solutions de l équation E : + 9 9= 0 Soit S l ensemble des solutions de l équation E Que peut-on écrire (epliquer)? a S = { ; } b S { ; } c { ; } S Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 9

14 \ Développer D autres eercices sont disponibles sur le site Pour les eercices 8 à 6 écrire sans parenthèses les epressions données puis les réduire 8 a ( ) ( ) b ( ) ( + ) c ( + ) ( ) d ( + ) ( + ) 9 a ( ) b ( + ) c ( ) d ( ) 0 a ( )+ 6 ( ) b 6 + c 6 ( + ) d ( + ) ( + ) ( ) a ( ) b ( + ) c ( ) d ( ) ( + ) a ( + 6) b ( ) ( ) c ( ) ( + ) d ( + ) ( ) a ( t ) b a 6 c ( ) d ( ) a ( ) ( ) b ( + ) ( ) c ( + ) ( ) d ( ( t ) ) a ( ) ( + ) b ( + ) ( ) c ( ) ( + ) ( + ) d ( y ) ( y+ ) 6 a ( + ) ( + ) b ( ) ( ) c ( ) ( + ) d + t+ t ( ) 7 Développer ( + y) ( y) Sans calculatrice, calculer Développer ( )( + ) puis calculer : La Terre a un rayon de 6 00 km environ Quelle serait la longueur d un cable entourant la Terre le long de l équateur? De combien doit-on augmenter sa longueur pour qu il entoure la Terre à m de hauteur au-dessus de l équateur? 0 Transformer pour un minimum Soit V( )= 6+ pour tout réel Démontrer que pour tout réel, V( )= 6+ ( ) En déduire que V( ) 6 pour tout réel Démontrer que V admet un minimum sur Aide : eercice résolu Transformer pour un maimum Soit h()= t t + 6t 6 sur pour t réel Montrer que pour tout t réel, h()= t ( t ) En déduire que h admet un maimum sur Démontrer que, pour tous réels a et b, ( a+ b) ab= ( a b) a Dans un carré, on a disposé ab quatre rectangles comme dans la figure ci-contre a Interpréter la formule précédente en termes d aires a b Les quatre rectangles peuvent-ils remplir tout le grand b carré? Factoriser D autres eercices sont disponibles sur le site Recopier et compléter : a ( + ) = b ( ) = 6 + c ( + ) = + t + 9 d ( ) = + Recopier et compléter : a ( ) = b ( ) = 8 + c ( + ) = + t + 9 d ( ) = + Pour les eercices à 7 factoriser les epressions données Avec un facteur commun a ( )+ b ( + ) ( + )+ ( + ) 6 c + 9 d Aide : eercice résolu 6 Avec un facteur commun a 8 b + y c + d ( + ) ( + ) ( + ) 7 a ( ) b y + z c ( + ) ( + ) d ( ) ( ) ( ) a b a b 9

15 8 Avec un facteur commun a 6 b y + c ( + ) ( + ) d ( + ) Avec une identité remarquable a + + b ( ) c d ( ) ( ) Aide : eercice résolu 0 Avec une identité remarquable a ( + ) ( ) b c ( + ) d Avec une identité remarquable a 6( + ) b 6 8 c b b 9 + d ( a ) Par étapes a + ( ) ( + ) b + c + + ( + ) d ( + ) ( + ) ( + 6) Aide : eercice résolu Par étapes a ( + )+ + b ( ) ( ) + c y z y( y z ) d a 7 b 6 8 c a b b d + a ( ) + b c 6+ ( ) d 6 a + 9 b 7 8 c ( ) ( + ) d ( ) ( ) ( ) 7 a + 7 b c 9 ( )+ ( 6+ 0) d + ( )( 7 ) 8 Factoriser pour un minimum Soit f ( )= + 8 sur Factoriser f ( ) En déduire que f admet pour minimum sur 9 À la calculatrice Soit f ( )= + pour tout réel Conjecturer le minimum de f sur Factoriser f ( ) et conclure 60 À la calculatrice Soit v( )= + 6 sur La fonction v semble-t-elle admettre un maimum ou un minimum sur? Si oui, lequel? Factoriser v( )+ et conclure Résolutions graphiques D autres eercices sont disponibles sur le site 6 Soit f ( )= + et g( )= + 7 pour tout réel et leurs courbes tracées ci-dessous : y 8 f 7 g 6 O 6 Lire graphiquement les solutions de l équation f( )= g( ) Vérifier par le calcul que ce sont les valeurs eactes des solutions 6 Résoudre graphiquement les équations : a f ( )= b f ( )= c g( )= d g( )= e g( )= 0 f f( )= g( ) y f O 6 g Pour aller plus loin Résoudre graphiquement les équations f ( )= + et g( )= Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 9

16 6 À la calculatrice Conjecturer des solutions de l équation = Déterminer par le calcul si ce sont bien des solutions de l équation 6 À la calculatrice Conjecturer à la calculatrice les solutions de l équation = 0 Le nombre 0 est-il solution de cette équation? 6 ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = cm Pour tout point M de [ AC] on place N sur [ BC] tel que ( MN) et ( AB) soient parallèles Faire une figure à main levée Les courbes ci-dessous représentent les fonctions f et g qui associent à la longueur AM en cm respectivement l aire du triangle CMN et l aire du trapèze ABNM en cm² Identifier chaque courbe 8 y Résoudre graphiquement les équations suivantes et les interpréter pour la situation donnée : a f ( )= b g( )= 9 c f( )= g( ) Pour aller plus loin Résoudre graphiquement f( )= g( ) ; interpréter 66 La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur [ 6 ; 0] Équations du er degré D autres eercices sont disponibles sur le site Pour les eerices 68 à 7 résoudre les équations proposées 67 a = b + = c ( + )= d ( )+ = Aide : eercice résolu 68 a = b = c 6 = d t = 69 a ( ) = + b + = + c ( ) = ( + ) d ( )= ( + ) ( ) 70 a ( ) = b = 7 c + = + d = Quelle note doit-on ajouter à la liste 8 ; ; ; 8 ; 9 ; pour avoir une moyenne égale à? 7 Karen veut acheter des CD qui coûtent tous le même pri Elle calcule que, si elle en achète, il lui restera, mais qu il lui manque pour en acheter On désigne par le pri d un CD ; choisir parmi les équations ci-dessous celle qui correspond au problème La résoudre afin de calculer la somme dont dispose Karen a = + b + = c = d + = + 7 Voici une suite de maisons dessinées avec des allumettes À quelle étape utilisera-t-on eactement allumettes? 6 y 0 re étape e étape e étape 7 En continuant cet algorithme de construction, à quelle étape a-t-on besoin de 9 carrés? Quel est le nombre de solutions de l équation f ( )=? Comment choisir m pour que l équation f( )= m admette trois solutions? Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l équation f( )= m er étape e étape e étape 7 Après une augmentation de 8 % un article coûte 8,90 Quel était son pri initial? 96

17 76 Après une diminution de % un article coûte,0 Quel était son pri initial? 77 Rappeler les formules de calcul du volume d une sphère de rayon R et d un cylindre de même rayon et de hauteur h Peut-on trouver h pour qu ils aient le même volume? R R h Pour les eercices 8 à 87, résoudre les équations données 8 a = b ( ) ( + )= 0 c ( )= ( ) d + = + Aide : eercice résolu 6 8 a ( ) = 0 b ( ) ( ) c + ( )= d ( )= Résoudre une équation 78 Peut-on résoudre chacune des équations suivantes (sans la transformer) en appliquant la règle : «un produit est nul si et seulement si l un de ses facteurs est nul»? Si oui, la résoudre a ( ) ( + )= 0 b ( + )= 0 c + = 0 d ( + ) ( + 6)= e ( ) ( + )= 0 f ( ) ( + ) = 0 79 Après avoir factorisé le premier membre s il ne l est pas, résoudre les équations suivantes : a ( + )= 0 b + = 0 c = 0 d ( ) ( + )= 0 80 Même eercice que le 79 avec : a + = 0 b + = 0 c = 0 d = 0 8 Apprendre à prévoir les calculs Eemple Dans +, on dit que : est le «terme en», est le «terme en» et le «terme constant» Dans chacun des cas suivants, sans faire le développement complet, déterminer de tête le «terme en» que l on aurait en développant : a A( )= ( + ) b B( )= + ( ) c C( )= ( ) d D( )= ( ) ( + ) En déduire parmi les équations suivantes celles qui vont se ramener à une équation du premier degré après développement Résoudre celles-ci uniquement a A( )= B( ) b A( )= C( ) c C( )= D( ) d A( )= D( ) 8 L équation suivante se ramène-t-elle en développant à une équation du er degré? Si oui, la résoudre a ( ) = + ( + ) b ( + ) ( + ) ( + )= 0 c ( + ) = ( + ) 8 a ( + ) 6 = 0 b + = 0 c = d 6 = 86 a ( + )= b ( + ) ( + ) = 0 c = 6( ) d ( + ) 6= 0 87 a 9 = b ( + ) = c ( + ) = ( + ) ( ) d 6 = 0 88 Proposer une équation ayant pour solutions : a b et 0 c et d, et 89 Soit l équation = + Grâce à la calculatrice trouver des solutions en précisant si ce sont des solutions eactes ou approchées Résoudre avec un logiciel de calcul formel Aide : eercices résolus 6 et 90 Résoudre à l aide d un logiciel de calcul formel les équations suivantes : a = 0 b = 9 Choisir la «bonne forme» Soit f ( )= ( ) + ( + ) 7 Démontrer que pour tout réel, on a : f ( )= + et f ( )= ( ) ( + ) Quelle est la forme développée de f ( )? Quelle est la forme factorisée de f ( )? Traiter chacune des questions suivantes, en choisissant la forme qui vous semble la mieu adaptée : a Calculer f ( 0) b Résoudre f ( )= 0 c Calculer f ( ) d Résoudre f ( )= Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 97

18 9 Choisir la «bonne forme» Soit f ( )= ( + ) 6 Grâce au résultats ci-dessous obtenus sur Xcas, choisir l epression de f ( ) la mieu adaptée pour : a résoudre f ( )= 0 b résoudre f ( )= 6 c résoudre f ( )= d déterminer le minimum de f sur Pour aller plus loin Démontrer par le calcul les résultats obtenus sur Xcas 9 Choisir la «bonne forme» Soit g la fonction définie par g( )= sur et g sa courbe représentative ( ) = ( ) Démontrer que pour tout réel, g Déterminer le point d intersection de g et de l ae des ordonnées Déterminer s ils eistent les points d intersection de la courbe g avec l ae des abscisses Déterminer les abscisses des points de g ayant pour ordonnée 8 9 Sans calculatrice Associer à chaque courbe ci-dessous la fonction f, g ou h qu elle représente avec : f ( )= ( ) ( ) g( )= ( + ) ( ) h( )= ( + ) ( + ) Courbe Courbe Courbe Utiliser l algorithme de dichotomie (voir page 9) entre a = 0 et b = pour trouver une valeur approchée de la solution de cette équation à 0, près (On pourra présenter les résultats dans un tableau analogue à celui de la page 9) Pour aller plus loin Adapter l algorithme de la page 9 à cet eercice 97 ALGORITHMIQUE Dichotomie Même énoncé que l eercice 96 pour la fonction f définie par f ( )= + sur I = [ ; ] et l équation f ( )= 98 Eiste-t-il des nombres réels égau à la moitié de leur carré? Au double de leur carré? 99 Dans une parcelle carrée de côté (en m), on creuse un bassin carré en laissant sur deu des côtés une bordure de largeur m Parmi les epressions suivantes, indiquer celle(s) qui donne(nt) l aire de la bordure : a ( + ) b 6 c 6 9 d ( ) e ( ) Pour quelle(s) valeur(s) de l aire de la bordure est-elle 7 m²? 00 Un terrain carré a pour côté (en m) On augmente un côté de 0 m et on diminue un autre de 0 m pour obtenir un rectangle qui a la même aire que le carré Que vaut? 0 Le volume de la boîte ABCD est un carré de côté 0 cm On enlève un même carré à chaque coin de ABCD pour obtenir le patron d une boîte A M R B P N 9 Soit f ( )= + 6 sur Factoriser f ( ) Déterminer les points d intersection de la courbe représentative de f avec l ae des abscisses 96 ALGORITHMIQUE Dichotomie Soit f la fonction définie par f ( )= + sur I = [ 0 ; ] Conjecturer à la calculatrice le sens de variation de f et le nombre de solutions de l équation f ( )= sur l intervalle I D C Montrer que le volume de la boîte est V = AM ( 0 AM) À l aide d un logiciel de calcul formel, déterminer comment obtenir une boîte de 7 cm 0 Stratégies Donner plusieurs stratégies possibles pour résoudre de façon eacte ou approchée l équation : = + 98

19 Avec des quotients Un peu de logique 0 On dispose de deu conducteurs ohmiques, l un de résistance R = Ω et l autre de résistance inconnue R En les associant en parallèle, on mesure la résistance équivalente R éq = Ω Déterminer R Rappel 0 ET, OU et négation Les nombres réels p, q, r, s, t sont tels que : pqr =, rst = 0 et spr = 0 Quels nombres doivent être égau à 0? Source : SAT R = + R eq R 0 Résoudre les équations suivantes : a + = 0 b + 0 = 0 c = 0 Résoudre les équations suivantes : a = b + + = 0 c 0 6 = 06 Vrai ou Fau? Est-il eact d écrire, pour tout réel non nul, a =? b =? 07 Choisir un nombre strictement positif et lui ajouter son inverse Recommencer plusieurs fois et donner la plus petite somme obtenue Soit g( )= + pour tout ] 0; + [ ( ) a Démontrer que g( ) = b En déduire le minimum de g sur ] 0;+ [ et pour quelle valeur de il est obtenu 08 Soit a un nombre réel strictement positif Quelle est l aire de ce rectangle? a Eprimer le périmètre P( a) de ce rectangle ( a ) Montrer que P( a)= + pour tout a 0 a Quel est le périmètre minimal pour un tel rectangle? 09 On prend deu nombres strictement positifs La somme des inverses de ces deu nombres est-elle toujours égale à l inverse de la somme de ces deu nombres? a R R source : SAT Les significations de «un» Vrai ou fau? Un entier qui se termine par a son carré qui se termine par 9 Un entier qui se termine par a son carré qui se termine par Un entier qui se termine par 9 a son carré qui se termine par 8 Négation Cette proposition est-elle vraie ou fausse? «Pour tout nombre entier naturel n, n + n+ est un nombre premier» Écrire la négation de cette proposition Analyser une production y La fonction f est représentée ci-contre f Lire graphiquement le minimum de f Résoudre graphiquement l équation f ( )= 0 La fonction f est définie sur [ ; ] par f ( )= + 0, 99 Critiquer les résultats précédents À vous de corriger! Des élèves ont résolu l équation ( )= + Trouver et epliquer les erreurs commises : Clara Paul Leila ( )= + = + + 6= ( )= + + = + = ( )= + + = + = = = = Écrire un corrigé en justifiant chaque étape Chapitre Développer, factoriser pour résoudre 99

20 Travail personnel QCM Choisir la bonne réponse Réponses page Les courbes ci-dessous représentent les fonctions f et g Alors : a g( 0)= et b l équation f( )= g( ) a pour solution,6 c les solutions de l équation f ( )= sont et d f ( )= + y 6 6 L équation ( )= a pour solution : a,67 b 8 c,67 d 8 7 ( ) a pour forme développée : a 9 b 6 c 6+ 6 d ( ) est une autre écriture de : a ( ) ( ) b ( ) ( ) c ( ) ( + ) d ( ) ( + ) g f 9 Sans calculatrice Les solutions de l équation + = 0 sont : a ; ; b ; ; c ; ; d ; ; 0 Pour tout réel, + 0 est égal à : a ( + ) 0 b + c ( + ) ( ) d ( ) On donne les formes suivantes de f ( ) : (A) f ( )= ( ) (B) f ( )= ( ) + (C) f ( )= (D) f ( )= ( ) Pour trouver les points d intersection de l ae des abscisses et de la courbe représentant f, la forme la mieu adaptée est : a ( A) b () B c ( C) d ( D) Pour trouver le minimum de f sur, la forme la mieu adaptée est : a ( A) b () B c ( C) d ( D) Un carré ABCD devient un rectangle lorsque l on réduit AB de cm et AD de 6 cm Ce rectangle a pour aire 8 cm² L aire du carré ABCD est-elle : a cm²? b 6 cm²? c 6 cm²? d 6 cm²? Source : SAT VRAI / FAUX Réponses page Il eiste réel tel que + = ( ) L epression ( + ) ( ) est factorisée 8 Pour l équation 6 = 0, les solutions obtenues avec un logiciel de calcul formel sont : ; + ; La forme factorisée de ( ) + ( + ) ( ) est ( ) ( ) 6 L équation = a pour unique solution = 7 et sont solutions de l équation : + = + 9 L équation + 7 = 0 a pour solutions et, y 0 La fonction f représentée ci-contre peut être la fonction définie sur par : f ( )= ( + 0, 86) (, ) 0 f 00