Sur certaines séries entières particulières

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1 ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane Pologne) en juillet 997, en l honneur du professeur Schinzel, l auteur a démontré le résultat suivant : µ étant la fonction de Möbius, quand x tend vers par valeurs inférieures, alors que ) µn)x n = o, x on a ) µn)x n = Ω ± x cette notation classique signifie que la limite supérieure du produit x µn)xn est > et la limite inférieure est < ). On va considérer ici, en même temps que la série ci-dessus, d autres séries entières à coefficients réels ayant les mêmes propriétés, et liées aussi à des fonctions arithmétiques classiques. Dans ce qui suit, les lettres n et k représentent des entiers > et la lettre p est utilisée pour représenter les nombres premiers. 2. Nos résultats sont basés sur le théorème suivant : Théorème. Soit a, a 2,... une suite de nombres réels ayant les trois propriétés suivantes : ) La série entière a nx n a pour rayon de convergence ; 2) Quand x tend vers, n x a n = ox); 3) La série de Dirichlet a n/ est convergente pour Re s > et sa somme est une fonction de s prolongeable par une fonction F méromorphe dans un domaine D contenant le demi-plan fermé Re s /2 ayant des pôles 99 Mathematics Subject Classification: Primary A99. [59]

2 6 H. Delange de partie réelle /2, mais pas de pôle réel /2 ni de pôle de partie réelle ce qui est vrai en particulier si ses pôles dans le demi-plan Re s /2 sont les zéros de la fonction ζ). Ces propriétés entraînent que, quand x tend vers, ) a n x n = o et a n x n = Ω ± ). x x On voit facilement que la propriété 2) entraîne que, quand x tend vers, ) a n x n = o x par exemple en remplaçant a n par A n A n, où A n = n k= a k pour n et A = ). Notons que cette propriété a certainement lieu si la série a n/n est convergente, car oait que la convergence d une série u n entraîne que, quand x tend vers, n x nu n = ox). Pour < x <, on peut poser x = e u, avec u >. Quand x tend vers, u tend vers zéro et x u. Le résultat qui reste à démontrer est donc équivalent à ) a n e nu = Ω ± u /2 ) quand u tend vers. Notons que ce résultat entraîne que, quand x tend vers, a n = Ω ± x /2 ). n x En effet, en partant de ce que, pour u >, a n e nu = u e ux Ax) dx, où Ax) = a n, n x on voit facilement que, pour λ >, et lim u lim u u λ u λ a n e nu) Γ λ + ) lim x x λ Ax)) a n e nu) Γ λ + ) lim x λ Ax)). x

3 Séries entières particulières 6 3. La démonstration de ) est basée sur le lemme suivant : Lemme. f étant une fonction réelle définie sur l intervalle [, [, supposons que l intégrale T fx)/xs+ ) dx a pour abscisse de convergence α > et que, pour Re s > α, fx) dx = F s), xs+ où F est une fonction méromorphe dans un domaine contenant le demi-plan fermé Re s α. Si α n est pas un pôle de F, pour tout ε ], α[ on a fx) = Ω ± x α ε ) quand x tend vers. Si α n est pas un pôle de F mais F a des pôles de partie réelle α, on a fx) = Ω ± x α ). Ce lemme résulte des lemmes IV 8 à IV, pages 97 et 98, de []. Ces lemmes sont déduits du lemme IV 7, qui les précède. Celui-ci est un théorème établi par Landau dans [3] c est l analogue pour l intégrale de Mellin de son célèbre théorème, établi aussi dans [3], d après lequel, si une série de Dirichlet à coefficients a une abscisse de convergence σ c finie, σ c est un point singulier de la fonction qu elle représente). Landau indique que c est une amélioration d un théorème de Phragmén. 4. Démonstration de ). Soit Hu) = a ne nu pour u >. Nous devons démontrer que Hu) = Ω ± u /2 ) quand u tend vers zéro. 4.. Notons d abord que le produit ue u/2 Hu), qui est une fonction de u continue sur l intervalle ], [, tend vers zéro quand u tend vers zéro et quand u tend vers l infini. D une part, quand u tend vers zéro, Hu) = o e u ) ) = o u d après ce qu on a remarqué après avoir énoncé le théorème. D autre part, quand u tend vers, comme e u tend vers zéro, Hu)/e u tend vers a. Il existe donc M > tel que ue u/2 Hu) M, c est-à-dire 2) Hu) Mu e u/2 pour tout u > Il résulte de là que l intégrale T us Hu) du est absolument convergente pour Re s >. On va voir qu elle est alors égale à Γ s)f s). Considérons u fixé, avec Re s = σ >. Soit v > fixé. Pour u >, u s Hu + v) = G n u) où G n u) = a n u s e nu+v).

4 62 H. Delange On a G n u) a n e nv u σ e u = G nu). La série a ne nv étant absolument convergente, G nu) est une fonctioommable sur l intervalle, ). On peut donc intégrer terme à terme sur cet intervalle la série G nu). On obtient ainsi u s Hu + v) du = a n u s e nu+v) du, ou, par le changement de variable u = w/n, u s a n Hu + v) du = w s e w nv a n dw = Γ s) e nv. Cette relation vaut pour tout v >. Notons maintenant que, pour u >, et par suite Hu + v) Mu + v) e u+v)/2 Mu e u/2 u s Hu + v) Mu σ 2 e u/2. Comme ceci est une fonctioommable sur l intervalle, ) et comme, quand v tend vers zéro, Hu + v) tend vers Hu), on voit que, quand v tend vers zéro, u s Hu + v) du tend vers u s Hu) du et par suite Γ s) a n/ )e nv tend vers T us Hu) du. Mais, la série a n/ étant convergente, a n/ )e nv tend vers a n/, qui est égale à F s), d après le théorème d Abel d après lequel, si la série n= u n est convergente avec pour somme S, la somme de la série entière n= u nx n, qui est convergente pour x <, tend vers S quand x tend vers par valeurs réelles <. On a donc, pour Re s >, 3) comme on l a annoncé plus haut Maintenant, on peut écrire u s Hu) du = u s Hu) du = Γ s)f s) \ u s Hu) du + u s Hu) du,

5 Séries entières particulières 63 d où, en faisant dans la première intégrale au second membre le changement de variable u = /x, 4) u s Hu) du = x s H/x) dx + u s Hu) du. Il résulte de l inégalité 2) que l intégrale T us Hu) du est convergente pour tout s et, quel que soit σ réel, la convergence est uniforme pour Re s σ. Sa valeur est donc une fonction entière de s. Il en résulte que la fonction F définie dans le domaine D par F s) = Γ s)f s) u s Hu) du est méromorphe dans D et a dans le demi-plan Re s /2 les mêmes pôles que F. Il résulte de 3) et 4) que, pour Re s >, x s H/x) dx = F s) On peut maintenant utiliser le lemme du paragraphe 3. Soit α l abscisse de convergence de l intégrale T x s H/x) dx. On a α puisque l intégrale converge pour Re s >. D autre part, α Θ, où Θ est la borne supérieure des parties réelles des pôles de la fonction F, dont oait qu elle appartient à l intervalle [/2, ]. En effet, l intégrale est une fonction de s holomorphe dans le demi-plan Re s > α et est égale à F s) pour Re s >. Or, quel que soit ε >, F a des pôles de partie réelle > Θ ε. Le point α n est pas un pôle de F puisque cette fonction n a pas de pôle sur le segment [/2, ]. Si α > /2, le lemme montre que, quel que soit ε ], α[, quand x tend vers, En particulier H/x) = Ω ± x /2 ). Si α = /2, le lemme montre que On a donc certainement H/x) = Ω ± x α ε ). H/x) = Ω ± x /2 ). H/x) = Ω ± x /2 ) quand x tend vers, ce qui équivaut à Hu) = Ω ± u /2 ) quand u tend vers zéro. Le théorème est ainsi démontré.

6 64 H. Delange 5. Nous allons maintenant donner des exemples simples de suites satisfaisant aux hypothèses du théorème. Dans chacun de ces exemples, le fait que le rayon de convergence de la série a nx n est égal à est évident. Nous n aurons à vérifier que les propriétés 2) et 3). 5.. Tout d abord, les hypothèses sont évidemment satisfaites par a n = µn). Donc, quand x tend vers, d une part ) µn)x n = o, x d autre part µn)x n = Ω ± x ). Cette dernière relation entraîne que, quand x tend vers, Mx) = Ω ± x /2 ). Ceci est d ailleurs un résultat connu cf. par exemple, [], page 99) Les hypothèses du théorème sont aussi satisfaites par la suite a n = ) n µn). On vérifie aisément, soit directement, soit en remarquant que n ) n µn) est une fonction multiplicative et considérant ses valeurs pour les puissances des nombres premiers, que cette fonction est la convolution µ f où f est la fonction multiplicative) définie par f) = et, pour n >, { 2 si n est une puissance de 2, fn) = dans le cas contraire. La série de Dirichlet )n µn)/ est donc le produit de Dirichlet des séries µn)/ns et fn)/ns. Pour s =, la première est convergente et la seconde absolument convergente. La série )n µn)/n est donc convergente. Pour Re s >, on a ) n µn) = ζs) + k= ) 2 2 ks = ζs) 2s + 2 s. Ceci est une fonction méromorphe dans C, ayant comme pôles dans le demiplan Re s /2 les zéros de la fonction ζ. Le théorème montre que, quand x tend vers, alors que ) ) n µn)x n = o, x on a ) n µn)x n = Ω ± ). x

7 Séries entières particulières 65 En remarquant que µn)x n = ) n µn) x) n, on voit que, quand x tend vers, ) µn)x n = o et + x µn)x n = Ω ± + x ) Les hypothèses du théorème sont encore satisfaites si a n = λn) qn)/ζ/2), où λ est la fonction de Louville et { si n est un carré, qn) = dans le cas contraire. Oait que, pour Re s >, λn) = ζ2s) ζs) = ) µn) ) qn). Il s ensuit que la série λn)/ns est le produit de Dirichlet des séries µn)/ns et qn)/ns. Pour s =, la première est convergente et la seconde absolument convergente. La série λn)/n est donc convergente avec pour somme ). On voit ainsi que la série a n/n est convergente. Pour Re s >, a n = λn) ζ/2) = ζ2s) ζs) ζ/2) ). qn) = ζ2s) ζs) ζ/2) ζ2s) Ceci est une fonction méromorphe dans C ayant comme pôles dans le demiplan Re s /2 les zéros de la fonction ζ. Le théorème montre que, quand x tend vers, et λn) qn) ζ/2) ) x n = o ) x λn) qn) ) x n = Ω ± ), ζ/2) x ce qui entraîne que, quand x tend vers, λn) qn) ) = Ω ± x /2 ). ζ/2) n x

8 66 H. Delange et et Ces relations peuvent se traduire par ) π λn)x n 2ζ/2) = o x x λn)x n n x π 2ζ/2) ) = Ω ± x x λn) x/2 ζ/2) = Ω ±x /2 ) quand x. quand x, Cette dernière relation est proposée comme exercice dans [], page On peut obtenir des informations sur le comportement de la série λn)xn quand x tend vers en considérant a n = ) n λn) + 2 ζ/2) qn). Etant donné X >, on a, pour tout s, n X ) n λn) = λn) λn) n X n X n impair n pair = n X = n X = n X λn) 2 n X n pair λn) 2 m X/2 λn) λn) + 2 s m X/2 λ2m) 2m) s λm) m s. On voit ainsi que la série )n λn)/n est convergente avec pour somme ), de sorte que la série a n/n est convergente, et que, pour Re s >, a n = + 2 s ) ζ2s) ζs) s ζ2s) = ζ2s) + ) 2. ζ/2) ζs) ζ/2) Ceci est encore une fonction méromorphe dans C ayant comme pôles dans le demi-plan Re s /2 les zéros de la fonction ζ.

9 Séries entières particulières 67 Le théorème montre que, quand x tend vers, ) n λn) + ) ) 2 ζ/2) qn) x n = o x = Ω ± + x ), ce qui donne ) n λn)x n + 2) π 2ζ/2) ) = o x x = Ω ± x ). Il en résulte que, quand x tend vers, λn)x n + 2) ) π = o 2ζ/2) + x + x = Ω ± + x ) Les hypothèses du théorème sont satisfaites si a n = ) ωn), où ωn) est le nombre des nombres premiers qui divisent n. Tout d abord, on voit facilement que la fonction n ) ωn) est la convolution µ f où f est la fonction multiplicative déterminée par fp k ) = k pour tout p premier et tout k N. La série )ωn) / est donc le produit de Dirichlet de µn)/ns et fn)/ns. Pour s =, la première est convergente et la seconde est absolument convergente, car, pour Re s = σ >, fp k ) p ks = p σ ) 2. k= La série )ωn) /n est donc convergente avec pour somme ). Pour Re s >, les deux séries sont absolument convergentes et on a Comme ) ωn) = k= µn) fp k ) p ks ) fn) = ζs) = p s ) 2, fn).

10 68 H. Delange on a On vérifie facilement que p s ) 2 = Pour Re s >, les produits ) p 2s fn) = ) p s ) 2. ) p 2s et 2p s ) p s + )p s ) 3. 2p s ) p s + )p s ) 3 sont absolument convergents et on a donc fn) = )) 2p s ) p 2s p s + )p s ) 3 = 2p s ) ζ2s) p s + )p s ) 3 et par suite 5) ) ωn) = ζs)ζ2s) Notons maintenant que, pour Re s = σ >, 2p s p s + )p s ) 3 2pσ + p σ ) 4 2p s ) p s + )p s ) 3. et par suite, quel que soit σ > /3, le produit dans 5) est uniformément convergent pour Re s σ. Soit Φs) sa valeur. Φ est une fonction holomorphe dans le demi-plan Re s > /3 et on voit facilement que Φs) quand Re s = /2. D après 5), pour Re s >, ) ωn) = Φs) ζs)ζ2s). Ceci est une fonction méromorphe dans le demi-plan Re s > /3, dont les pôles dans le demi-plan Re s /2 sont des zéros de la fonction ζ et qui a en particulier pour pôles les zéros de ζ de partie réelle /2. Le théorème montre que, quand x tend vers, ) ) ωn) x n = o x = Ω ± x ),

11 ce qui entraîne que ) ωn) = Ω ± x /2 ) n x Séries entières particulières 69 quand x tend vers l infini Comme dernier exemple considérons a n = Λn), où Λ est la fonction de von Mangoldt. Il résulte immédiatement du théorème des nombres premiers sous la forme ψx) x quand x tend vers que, quand x tend vers, a n = ox). Pour Re s >, a n = n x Λn) = s) ζ ζs) ζs). Ceci est une fonction méromorphe dans C, ayant comme pôles les zéros de ζ. Le théorème montre que, quand x tend vers, ) Λn) )x n = o x ce qui entraîne que, quand x tend vers, En fait, il est connu que = Ω ± x ), ψx) x = Ω ± x /2 ). ψx) x = Ω ± x /2 log log log x), mais c est beaucoup plus difficile à démontrer cf. [2], page ). Les deux premières relations donnaient Λn)x n ) x = o x ) = Ω ± x quand x tend vers. Références [] A. Blanchard, Initiation à la Théorie Analytique des Nombres Premiers, Dunod, 969. [2] A. E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys. 3, Cambridge Univ. Press, 932.

12 7 H. Delange [3] E. Landau, Über einen Satz von Tschebyschef, Math. Ann. 6 95), Université de Paris-Sud Mathématique, bt Orsay, France Reçu le et révisé le )