PRIME Á LA CASSE POUR L'AUTOMOBILE Etude de fonction Recherche d extremum. DIMINUTION DE LA POLLUTION Suites numériques

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1 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE ORALE DE CONTRÔLE MATHÉMATIQUES ET SCIENCES PHYSIQUE ET CHIMIQUE EXEMPLES DE SUPPORTS POUVANT ÊTRE UTILISÉS POUR ÉLABORER DES SUJETS EXEMPLE 1 : EXEMPLE 2 : EXEMPLE 3 : EXEMPLE 4 : EXEMPLE 5 : EXEMPLE 6 : EXEMPLE 7 : EXEMPLE 8 : EXEMPLE 9 : EXEMPLE 10 : EXEMPLE 11 : PRIME Á LA CASSE POUR L'AUTOMOBILE Etude de fonction Recherche d extremum DIMINUTION DE LA POLLUTION Suites numériques BÉNÉFICE D UNE ENTREPRISE Fonction dérivée Recherche d extremum BUDGET PUBLICITAIRE Fonction dérivée Recherche d extremum POLLUTION À L OZONE Fonction dérivée Recherche d extremum CONTRAT DE LOCATION Suites numériques Comparaison de deux suites TAILLE DU FUTUR BÉBÉ Statistiques à deux variables Ajustement affine AU SELF CE MIDI Calculs de probabilités BOITES DE CONSERVE Fonction dérivée Recherche d extremum SECURITE ROUTIERE Ajustement linéaire Extrapolation ETUDE DE RENTABILITE Extrapolation affine EXEMPLE 12 : ETUDE DE RENTABILITE (2) Extrapolation affine EXEMPLE 13 : EXEMPLE 14 : EXEMPLE 15 : EXEMPLE 16 : EXEMPLE 17 : EXEMPLE 18 : EXEMPLE 19 : EXEMPLE 20 : EXEMPLE 21 : EXEMPLE 22 : EXEMPLE 23 : EXEMPLE 22 : EXEMPLE 23 : MISE AU POINT Optique Lentille convergente et formation d une image PIC D AFFLUENCE Etude de fonction recherche d extremum BENEFICE MAXIMUM Etude de fonction recherche d extremum BUDGET DE VACANCES Statistiques à deux variables Extrapolation affine GRIPPE & VACCIN Calculs de probabilités TRUFFES - COUT DE PRODUCTION Exploitation d une représentation graphique DETARTRANT DE CAFETIERE Acide-Base exploitation des résultats d un dosage PUISSANCE MOTEUR Statistiques à deux variables Extrapolation affine LEVE-VITRE ELECTRIQUE Exploitation d un graphique Recherche d un extremum PRODUCTION OPTIMALE Étude de fonction Recherche d extremum FLECHE D UN PORTAIL Étude de fonction Recherche d extremum PLAQUES DE CUISSON Chaleur et rendement VOITURE ELECTRIQUE Oxydoréduction, piles et accumulateurs, masse volumique

2 EXEMPLE 1 : PRIME Á LA CASSE POUR L'AUTOMOBILE doit montrer le plus de compétences possibles dans la démarche de résolution. Une prime à la casse pour les automobiles a relancé la vente des véhicules neufs. Un concessionnaire a ainsi vu évoluer le nombre de ses ventes. La fonction f, définie sur [0 ; 12], d'expression f(n) = 20 n 5n + 25 modélise cette évolution des ventes sur les 12 premiers mois après l'instauration de cette prime. n représente le rang du mois et f (n) le nombre de véhicules vendus. On cherche le mois durant lequel sera vendu le plus grand nombre de véhicules et quel sera ce nombre. 1..Quel est le nombre de véhicules vendus avant le début du versement de la prime à la casse (c'est-à-dire pour le mois n = 0)? 2..Quel est le nombre de véhicules vendus un mois après le début du versement de la prime à la casse? 3..Nous souhaitons déterminer le mois durant lequel sera vendu le plus grand nombre de véhicules et quel sera ce nombre. Comment procéder? 4..Soit f ' la fonction dérivée de f. Déterminez f '(n) Étudiez le signe de f '(n) sur [0 ; 12] et donnez son tableau de variation Déduisez de l'étude précédente le mois durant lequel sera vendu le plus grand nombre de véhicules et quel sera ce nombre Á l'aide de la calculatrice graphique, représentez graphiquement la fonction f sur l'intervalle [0 ; 12]. Cette représentation vous permet-elle de confirmer les résultats précédents?... Formulaire Fonction ax + b u + v k u Fonction dérivée a u' + v' k u'

3 EXEMPLE 2 : DIMINUTION DE LA POLLUTION Une industrie s'est engagée à réduire ses émissions de gaz polluants. Elle programme une série de travaux lui permettant de les diminuer de 4 % par an. En 2014, elle a rejeté dans l'atmosphère tonnes de gaz polluants. On cherche à déterminer la quantité de gaz polluant qui sera rejetée en 2025 si la diminution de 4% est respectée tous les ans. 1. Calculez la quantité de gaz polluants rejetée en 2015 et en 2016 (arrondir à 1 tonne) Proposez une démarche mathématique permettant de déterminer la quantité de gaz polluants rejetée en On note : - u 1 la quantité de gaz polluants rejetée en 2014 (u 1 = 4 860) ; - u 2 la quantité de gaz polluants rejetée en 2015 ; - u 3 la quantité de gaz polluants rejetée en 2016 ; - etc Quelle est la nature (arithmétique, géométrique ou quelconque) de la suite de nombres u 1, u 2, u 3,.? Quelle est sa raison? Justifiez votre réponse Calculez la quantité de gaz polluants qui sera rejetée en 2025 (arrondir à une tonne) Formulaire Suites arithmétiques u n = u n-1 + r u n = u 1 + (n - 1) r Suites géométriques u n = q u n-1 u n = u 1 q n-1

4 EXEMPLE 3 : BÉNÉFICE D UNE ENTREPRISE Une entreprise fabrique et vend des cafetières. On admet que le bénéfice B réalisé chaque jour par cette entreprise, en euros, est donné par la relation : B(x) = x x 445 où x représente le nombre de cafetières fabriquées et vendues par jour, x appartient à l intervalle [10 ; 70]. Le but de ce problème est de déterminer le nombre de cafetières à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. 1. Déterminez le bénéfice réalisé par cette entreprise pour 60 cafetières vendues puis pour 70 cafetières vendues Le bénéfice maximal réalisé par cette entreprise correspond-il au maximum de cafetières vendues? Justifiez Proposez une démarche mathématique permettant de déterminer le nombre de cafetières que doit vendre cette entreprise pour obtenir un bénéfice maximal Soit B la fonction dérivée de B. Déterminez B (x) Étudiez le signe de B (x) (en résolvant l inéquation B (x) > 0 ou l équation B (x) = 0) Déduisez-en le tableau de variations de la fonction B sur l intervalle [10 ; 70]. 7. Combien de cafetières doit vendre cette entreprise pour réaliser un bénéfice maximal? Que vaut ce bénéfice maximal? Formulaire Fonction ax + b x 2 u + v k u Fonction dérivée a 2x u' + v' k u'

5 EXEMPLE 4 : BUDGET PUBLICITAIRE doit montrer le plus de compétences possibles dans la démarche de résolution. Pour contrer l offensive du commerce sur internet dans le domaine audio-vidéo, un magasin a investi, depuis 3 ans, dans la publicité de son point de vente. Le responsable du magasin a constaté que pour une somme annuelle investie x (en euros), le résultat R réalisé vérifie la relation : R(x) = - 0,001x² + 8x où x appartient à l intervalle [0 ; 6000] Il cherche à déterminer la somme que doit investir le magasin pour obtenir un résultat maximal. 1. Déterminez le résultat réalisé par ce magasin pour investis en publicité puis pour investis. 2. Le résultat maximal réalisé par ce magasin correspond-il à la somme maximale investie? Justifiez Proposez une démarche mathématique permettant de déterminer la somme que doit investir en publicité ce magasin pour obtenir un résultat maximal Soit R la fonction dérivée de R. Déterminez R (x). 5. Étudiez le signe de R (x) (en résolvant l inéquation R (x) > 0 ou l équation R (x) = 0) Déduisez-en le tableau de variations de la fonction R sur l intervalle [0 ; 6 000]. 7. Quelle somme doit investir en publicité ce magasin pour réaliser un résultat maximal? Que vaut ce résultat maximal? Formulaire Fonction ax + b x 2 u + v k u Fonction dérivée a 2x u' + v' k u'

6 EXEMPLE 5 : POLLUTION À L OZONE La pollution due au trafic favoriserait l'asthme et augmenterait les maladies respiratoires et cardiovasculaires Les auteurs d'une grande étude européenne confirment l'intérêt des mesures destinées à limiter les niveaux de pollution dans les villes. L'ozone est un polluant provenant directement de la circulation automobile. Des études ont montré qu'au cours d'une journée, entre 9 h et 21 h, la concentration en ozone au centre d'une ville est donnée par la relation : C(t) = - 0,7 t ² + 21 t 86 où t est le temps en heure, et C(t), la concentration en ozone en µg/m 3 à l'instant t. Nous cherchons à déterminer à quelle heure la pollution atteint sa valeur maximale. 1. a- Complétez le tableau suivant (si vous le souhaitez, utilisez la calculatrice). Heure t Concentration C(t) en ozone en µg/m 3 b- Comment semble évoluer la concentration en ozone au cours de la journée? Proposez une méthode qui permettrait de répondre à la question suivante : à quelle heure précise de la journée la pollution atteint-elle sa valeur maximale? Calculez C (t) où C est la fonction dérivée de la fonction C Résolvez l équation C (t) = 0 et complétez le tableau de variation de cette fonction En vous aidant des résultats précédents proposez une réponse à la question posée En utilisant votre calculatrice en mode graphique, tracez la représentation graphique de la fonction C. Cette représentation vous permet elle de confirmer les résultats précédents?... Formulaire Fonction ax + b x 2 u + v k u Fonction dérivée a 2x u' + v' k u'

7 EXEMPLE 6 : CONTRAT DE LOCATION Monsieur Bozo, votre responsable, vous demande de réaliser une étude comparative sur la location des locaux de l entreprise. La durée du contrat de location est de 9 ans. Le propriétaire des locaux a proposé 2 types de contrat. Vous devez donc comparer les deux types de contrats et déterminer le plus intéressant pour l entreprise la 9 ème année. 1. Proposition n 1 : La première année le loyer annuel est Le loyer subit, chaque année, une augmentation de 3 %. Calculez le loyer annuel de la deuxième année, puis celui de la troisième année Proposition n 2 : La première année le loyer annuel est Le loyer subit, chaque année, une augmentation de 880. Calculez le loyer annuel de la deuxième année, puis celui de la troisième année Proposez une démarche mathématique permettant de déterminer, pour chaque proposition, le loyer annuel de la 9 ème année 4. On désigne par u 1 le loyer de la 1 ère année, par u 2 le loyer de la 2 ème année, par u 3 le loyer de la 3 ème année, par u n le loyer de la n ème année pour la proposition n 1. Dans ce cas, à quel type de suite correspondent les loyers annuels? Justifiez Pour ce contrat de location, quel sera le loyer de la dernière année? 6. On désigne par v 1 le loyer de la 1 ère année, par v 2 le loyer de la 2 ème année, par v 3 le loyer de la 3 ème année, par v n le loyer de la n ème année pour la proposition n 2. Dans ce cas, à quel type de suite correspondent les loyers annuels? Justifiez Pour ce contrat de location, quel sera le loyer de la dernière année? Quel type de contrat est le plus intéressant pour l entreprise la 9 ème année? Justifiez. Formulaire Suites arithmétiques u n = u n-1 + r u n = u 1 + (n - 1) r Suites géométriques u n = q u n-1 u n = u 1 q n-1

8 EXEMPLE 7 : TAILLE DU FUTUR BÉBÉ Une de vos amies doit accoucher par césarienne pour raison médicale au cours de sa 34 ème semaine de grossesse (durée d'une grossesse normale : 40 semaines). Le médecin a dit à votre amie que son bébé pèserait environ 2 kg au moment de l'accouchement. Elle doit rester couchée jusqu'au jour de la césarienne et vous charge donc d'acheter des vêtements pour son bébé. Elle vous demande de prendre la taille «poids plume». Votre amie a-t-elle raison? Des vêtements en taille «poids plume» conviendront-ils à son bébé? Pour vous aider dans votre recherche, lisez les documents suivants : Doc 1 : Correspondance entre la taille des Taille Taille bébé vêtements et la taille du bébé : Vêtement (en cm) Doc 2 : Dans une maternité, on a relevé le poids et la taille de 9 nouveaux nés dans le tableau suivant : Bébé Jules Tanguy Valentin Sidonie Elie Sophie Lily Robin Alex Poids x i (en kg) 2,76 3,56 3,38 2,92 3,22 2,84 2,93 4,28 3,72 Taille y i (en cm) Quelle valeur devez-vous connaître pour pouvoir répondre à la question suivante : Des vêtements en taille «poids plume» conviendront-ils à son bébé? Cochez la bonne réponse. Le poids du bébé La taille du bébé L'âge du bébé 2. Proposez une méthode pour déterminer cette valeur. Poids plume 40 Prématuré 45 Naissance 50 1 mois Vous devez estimer la taille du futur bébé de votre amie pour savoir si la taille «poids plume» lui convient. Les valeurs des poids et des tailles des bébés forment une série statistique à deux variables. Avec votre calculatrice, représentez cette série statistique par un nuage de points de coordonnées (x i ; y i ) et construisez une droite d'ajustement affine. Recopiez l'équation de la droite donnée par la calculatrice : Utilisez cette équation pour faire une estimation de la taille du futur bébé de votre amie Finalement, votre amie a-t-elle raison de vous demander d'acheter des vêtements en taille «poids plume» pour son bébé? Pourquoi?

9 EXEMPLE 8 : AU SELF CE MIDI Au lycée, c est au déjeuner du jeudi qu il y a le plus de choix au self : on a le choix entre 3 entrées, 2 plats chauds, 2 fromages et 4 desserts ; c est pourquoi vous y croisez parfois votre professeur de Maths. Mais quelle est la probabilité que vous preniez le même repas? 1. Proposez une méthode permettant de déterminer le nombre de repas différents qu il est possible de composer sans prendre de dessert Calculez la probabilité (à 10-2 près) que vous avez de choisir le même menu que votre enseignant : a) s il ne prend pas de dessert ; b) s il choisit de consommer un menu complet.

10 EXEMPLE 9 : BOITES DE CONSERVE Les boîtes de conserve métalliques du commerce, de forme cylindrique, désignées couramment par «boîte de 1 kg» ou «boîte de 1 L» ont en réalité, d après les étiquettes, une contenance de 850 ml ( ou 850 cm 3 ). Pour obtenir cette contenance, une infinité de modèle sont possibles ; la figure ci-dessous en présente trois : 1 5, , Les cotes sont en cm. 5,135 16,92 Problématique : Pour une raison économique, seul le modèle 2 est commercialisé. Pourquoi? 4 1. Vérifiez par le calcul que la contenance du modèle 3 est bien égale à 850 cm 3 (au cm 3 près). 2. Citez les figures géométriques planes (qui constituent le patron) permettant de fabriquer une boîte de conserve. 3. On considère que l aire de la surface de métal nécessaire à la fabrication de la boîte de conserve est 1700 représentée par la fonction f définie sur [ 0 ; 11 ] par : f (x) = 2.π.x 2 + où x est le rayon de la boîte. x a. Quelles remarques pouvez-vous faire quant à l allure de cette représentation graphique? b. D après vos observations, expliquez pourquoi le modèle 2 a été retenu. c. Quelle méthode mathématique mettez-vous en œuvre pour retrouver la valeur exacte du rayon du modèle 2. f (x) x Formulaire : Aire du disque : π R 2 Aire latérale du cylindre : 2 π R h Volume du cylindre : π R 2 h

11 EXEMPLE 10 : SECURITE ROUTIERE Les accidents de la route sont la première cause de mortalité chez les jeunes de 18 à 24 ans en France. Le graphique ci-dessous fournit, pour la France, la vitesse moyenne des véhicules légers, ainsi que le nombre de morts sur les routes, de 2000 à 2011 (sources : Observatoire National Interministériel de la Sécurité Routière rapport du 7 octobre 2013). Des prévisions sont faites pour les années 2014 et 2020 : «L'année s'achève sur un bon bilan à en croire le ministère de l intérieur : "On peut raisonnablement estimer que la mortalité routière s'élèvera entre et morts pour 2014", a annoncé le ministère de l'intérieur» Le gouvernement avait en 2011 pour objectif de réduire la mortalité routière par deux d ici à 2020 On cherche à vérifier ces prévisions 1. Comparaison des deux graphiques : Comparer l évolution de ces deux courbes entre 2000 et Par rapport à 2011, le nombre de personnes tuées en 2012 sur la route a chuté de 7,82% Calculer le nombre de tués en Quelle méthode utiliseriez-vous pour retrouver les valeurs annoncées par le ministre pour 2014? En utilisant votre calculatrice, a) Rentrez les données du nombre de morts par année depuis b) Représentez graphiquement cette série puis tracez l ajustement linéaire correspondant. c) En utilisant les fonctions de la calculatrice, donnez une estimation du nombre de personnes tuées en d) Pensez-vous que l estimation annoncée par le gouvernement pour 2014 soit correcte?... e) Peut-on si cette tendance à la baisse se confirme, penser que cet objectif sera réalisable?...

12 EXEMPLE 11 : ETUDE DE RENTABILITE L entreprise pour laquelle vous travaillez produit un vêtement depuis quelques années. Voici les ventes de ce produit depuis cinq mois. L entreprise considère que la vente de ce type de vêtement n est plus rentable quand ses ventes sont en dessous de On cherche à déterminer le moment où l entreprise doit abandonner la commercialisation de ce vêtement. Ventes en du vêtement février mars avril mai juin Que pouvez-vous dire sur l évolution du montant des ventes au cours de ces derniers mois? A quel moment l entreprise doit-elle abandonner la commercialisation de ce vêtement?

13 EXEMPLE 12 : ETUDE DE RENTABILITE (2) L entreprise pour laquelle vous travaillez produit un vêtement depuis quelques années. Voici les ventes de ce produit depuis cinq mois. L entreprise considère que la vente de ce type de vêtement n est plus rentable quand ses ventes sont en dessous de On cherche à déterminer le moment où l entreprise doit abandonner la commercialisation de ce vêtement. Vente en du vêtement février mars avril mai juin Que pouvez-vous dire sur l évolution du montant des ventes au cours de ces derniers mois? Construisez le nuage de points des ventes du vêtement en fonction du temps, dans le graphique ci-dessous. On prendra en abscisse le rang du mois et en ordonnée les ventes en euros. 5. A quel moment l entreprise doit-elle abandonner la commercialisation de ce vêtement?

14 EXEMPLE 13 : MISE AU POINT Voici le schéma de fonctionnement d un appareil photo. Vous prenez en photo une personne située d abord à 3 m de l objectif. Afin de la photographier correctement, vous devez faire la mise au point pour que la photo ne soit pas floue. Quand cela se fait automatiquement on parle d AutoFocus. Il s agit en fait d agir sur l objectif pour que l image se forme nettement sur le capteur ou le film. La situation est schématisé ci-dessous avec du matériel scientifique : Source lumineuse On cherche à étudier ce qui se passe lorsque la distance de la personne photographiée varie. 1. Identifiez à quoi correspond chaque élément du schéma par rapport à la situation étudiée Si la personne se rapproche de vous, une nouvelle mise au point est nécessaire. Proposez la manipulation schématisant le réglage correspondant Application possible avec les données suivantes : Distance focale de la lentille : f =36 mm 1 ère situation : p = 3 m, calculer p 1/p + 1/p = 1/f 2 ème situation : p = 1 m, calculer p

15 EXEMPLE 14 : PIC D AFFLUENCE Vous travaillez sur l organisation d un salon du prêt à porter dans un hall d exposition d une grande ville. La capacité maximale de ce hall est de 5000 personnes. Le hall est ouvert de 8h à 18h (10 heures d ouverture). Ces dernières années on a remarqué qu on pouvait modéliser le nombre de personnes dans le hall par la fonction f dé finie par f(x) = -40x x² - 840x sur [0 ; 10] où x représente le temps d ouverture en heures du hall depuis 8h le matin. On cherche à déterminer l heure de la journée correspondant au pic d affluence. 1. Avec votre calculatrice, proposez une méthode pour trouver l heure de la journée où l on atteint le nombre maximal de personnes. La capacité maximale est-elle atteinte? 2. A l aide de l étude de la fonction f déterminez plus précisément l heure de la journée correspondant au pic d affluence?

16 EXEMPLE 15 : BENEFICE MAXIMUM Afin d améliorer sa rentabilité, une boutique de vêtements étudie les bénéfices réalisés l an passé en fonction des prix de vente de chaque article. L étude ci-dessous est réalisée sur un blouson qui fut la meilleure vente du magasin l an dernier. On veut déterminer le prix de vente assurant le bénéfice maximal pour la boutique. A. PREMIERE PARTIE Le tableau suivant indique le bénéfice réalisé en fonction du prix de vente du blouson étudié : Prix de vente du blouson ( ) Bénéfice réalisé ( ) 61,00 62,00 63,00 64,00 65,00 66,00 67,00 68,00 69,00 551,50 699,40 805,00 882,00 910,00 899,00 847,00 752,90 628,50 1. Commentez l évolution du bénéfice réalisé en fonction du prix de vente du blouson. 2. A quel prix de vente semble-t-il être le plus judicieux, d afficher ce blouson? Justifiez votre réponse. B. DEUXIEME PARTIE On considère que la fonction f définie sur l intervalle [61 ; 69] par : f(x) = 20 x x est une modélisation assez précise du bénéfice réalisé en fonction du prix de vente du blouson. A l aide de cette modélisation, comment pouvez-vous déterminer plus précisément le prix de vente assurant le bénéfice maximal pour la boutique?

17 EXEMPLE 16 : BUDGET DE VACANCES Avant d ouvrir un camping, une enquête est réalisée pour connaître le budget quotidien des vacanciers de la région. Le futur gérant du camping s interroge sur les nombres de vacanciers qui disposent de budgets de 130 et 180. Il se demande également quel est le budget quotidien moyen des vacanciers de la région. Sur un échantillon représentatif, on a relevé les montants suivants : Budget quotidien x i en Nombre de vacanciers a) Quel est le nombre de vacanciers qui dépensent plus de 130 par jour? b) Quelle démarche mathématique doit-on mettre en œuvre pour estimer le nombre de vacanciers qui dépensent 180 par jour c) A l aide de la copie d écran ci-dessous, calculer le nombre de vacanciers qui dépensent 180. d) Vérifier que le point moyen de cette série appartient à la droite précédente. En déduire le budget quotidien moyen des vacanciers

18 EXEMPLE 17 : GRIPPE & VACCIN Chaque année, la grippe est responsable de nombreux arrêts de travail. Pour limiter ce problème, une grande entreprise décide de proposer à ses salariés la possibilité de se faire vacciner gratuitement contre la grippe. Sur les 1500 salariés, 375 acceptent de se faire vacciner contre la grippe. Pendant l hiver, 350 salariés contractent la maladie. Parmi eux, 20 salariés vaccinés ont eu la grippe. a) Compléter le tableau suivant : salariés ayant eu la grippe salariés n ayant pas eu la grippe Total salariés vaccinés. 375 salariés non vaccinés... Total L entreprise veut évaluer le risque qu un salarié soit vacciné et grippé. b) Quelle démarche peut-elle mettre en œuvre? On considère les événements suivants : A : «le salarié a été vacciné» B : «le salarié a eu la grippe» c) Parmi les propositions suivantes laquelle correspond à l événement contraire de A noté : (Rayer les propositions erronées) : «le salarié n a pas été vacciné» : «le salarié n a pas eu la grippe» : «le salarié a été vacciné et a eu la grippe» On choisit au hasard l un des salariés de cette entreprise : d) Calculer les probabilités suivantes : p(a) : probabilité que ce salarié soit vacciné p( ) : probabilité que ce salarié ne soit pas soit vacciné p(b) : probabilité que ce salarié soit grippé p(a ) probabilité que ce salarié soit vacciné et grippé e) Quel est le risque qu un salarié de cette entreprise soit vacciné et grippé? Exprimer ce résultat en pourcentage.

19 EXEMPLE 18 : TRUFFES - COUT DE PRODUCTION Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kilogrammes de ce produit par semaine durant la période de production. On désigne par x la masse totale (en kilogrammes) de truffes vendues chaque semaine et par f(x) le coût de revient (en euros) d'un kilogramme de truffes. Allure de la courbe représentant graphiquement la fonction f Le coût de revient représente l'ensemble des coûts supportés pour la récolte, le conditionnement et la mise en vente des truffes. Coût de revient (en ) Expression de f f(x) = x 2 60x Masse de truffes traitée Masse (en de kg) On étudie le coût de revient du kilogramme de truffes et on cherche sa valeur minimale. 1- L'affirmation "plus on traite de truffe, plus le coût de revient est faible" est-elle vérifiée? Justifier Quel est le coût de revient pour 15 kilogrammes de truffes traitées? Quel est la quantité de truffes traitée si le coût de revient est de 100 euros? Proposer puis mettre en œuvre une méthode pour déterminer la quantité de truffes à traiter telle que le coût de revient soit minimal Quel est alors le coût de revient minimal?......

20 EXEMPLE 19 : DETARTRANT DE CAFETIERE La société Melitta fabrique et commercialise des cafetières. Dans le carton d emballage il y a toujours avec la cafetière un sachet de détartrant. Le service qualité de la société Melitta veut tester les propriétés chimiques du détartrant. Au dos du sachet, il est mentionné que cette poudre contient 93 % de produit actif. Votre travail doit vous permettre de valider ou non cette information en utilisant les résultats données par le laboratoire d analyse. 1. A partir de la courbe de dosage fournie, a) Déterminez le ph de la solution de détartrant avant le dosage.. b) Le détartrant de cafetière est un produit ( acide neutre basique ). Barrer les réponses fausses c) Quel est le ph correspondant au volume d équivalence? La méthode des tangentes utilisée pour trouver le volume équivalent donne = 9,6 ml. A partir de la relation suivante, calculez la concentration ( en mol / L ) de la solution de détartrant.. =. : volume de la prise d essai de la solution A ( = 10 ml ) : volume équivalent de la solution de soude. : concentration de la solution de soude ( = 0,10 mol/l).. 2. La proportion p de produit actif dans la poudre du détartrant est donnée par la relation suivante; Calculez cette proportion sachant que M = 97,1 mol/l et exprimez ce résultat en pourcentage.. Comparez ce résultat à l information donnée sur le sachet et conclure...

21 EXEMPLE 20 : PUISSANCE MOTEUR Le tableau ci-dessous indique la puissance x en chevaux DIN et la cylindrée y en cm 3 de 8 voitures à moteur diesel. Voiture V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 Puissance x (DIN) Cylindrée y (cm 3 ) On cherche à estimer la puissance d un moteur de 2800 cm Que pouvez-vous dire sur l évolution de la cylindrée en fonction de la puissance? 2. Le nuage de points correspondant à la cylindrée en fonction de la puissance est donné ci-dessous : Cylindrée (cm 3 ) Puissance (CV DIN) 3. Proposez une démarche mathématique permettant d estimer la puissance d un moteur de 2800 cm 3.

22 EXEMPLE 21 : LEVE-VITRE ELECTRIQUE Le lève vitre de portière d une automobile est équipé d un moteur à courant continu. P, la puissance utile du moteur en fonction de l intensité absorbée est donnée par la relation : P = 12I 3I² On cherche à déterminer la puissance utile maximale de ce moteur de lève-vitre. 1. On modélise la relation précédente par la fonction f définie sur [0 ; 4] par : f(x) = 3x x Parmi les 2 représentations graphiques données ci-dessous, identifier celle représentant la fonction f. Justifier ce choix. Graphique n 1 Graphique n 2 2. Décrire les étapes d une démarche mathématique permettant de déterminer précisément la puissance utile maximale de ce moteur de lève-vitre.

23 EXEMPLE 22 : PRODUCTION OPTIMALE Une entreprise fabrique des boîtes de rangements. q est un nombre entier de centaines de boîtes fabriquées et vendues en un mois. On admet que le bénéfice net en centaines d euros, B(q) est donné par la relation : B(q) = q q 445 Soit la fonction f définie par f(x) = x x 445 pour x appartenant à l intervalle [0 ; 100]. L entreprise cherche à déterminer le nombre de boîtes qu elle doit fabriquer et vendre en un mois pour obtenir un bénéfice maximal. 1.Avec votre calculatrice, proposez une méthode permettant de trouver le nombre de boîtes à fabriquer pour un bénéfice maximal, un bénéfice nul. 2. A l aide de l étude de la fonction f déterminez plus précisément le nombre de boîtes à fabriquer pour un bénéfice maximal

24 EXEMPLE 23 : FLECHE D UN PORTAIL Suite à une visite chez un particulier, le commercial d une entreprise fabriquant des portails amène le croquis d un portail coulissant et d un portillon. y Portillon C f A B Flèche du portail 160 cm 0 x 100 cm 50 cm Le haut du portail a une forme parabolique. Dans le repère ci-dessus, il est la représentation graphique C f de la fonction f avec : f (x) = 0,001 x 2 + 0,6 x + 92,5 Le commercial a oublié de noter la valeur de la flèche du portail. Il cherche à la retrouver. 1. Quelle méthode utiliseriez-vous pour retrouver cette valeur? 2. A l aide de l étude de la fonction f déterminez précisément la valeur de la flèche du portail.

25 EXEMPLE 24 : PLAQUES DE CUISSON On se propose de déterminer le type de plaque de cuisson électrique la plus efficace. Puissance vitrocéramique: entre 1200 et 2500 W Il faut 5 minutes en puissance maximale pour porter 2L d eau de 20 C à 100 C Puissance induction : entre 2000 et 3000 W Il faut 4 minutes en puissance maximale pour porter 2L d eau de 20 C à 100 C Formulaire avec c eau = 4180J/kg.K 1- Quelle quantité d énergie thermique utile est nécessaire pour porter 2L d eau de 20 C à 100 C? Quelle quantité d énergie électrique absorbée a été nécessaire pour porter 2L d eau de 20 C à 100 C pour chaque type de plaque? Calculer le rendement de chacune des deux plaques En conclure laquelle des deux plaques est la plus efficace

26 EXEMPLE 25 : VOITURE ELECTRIQUE Documents ressource 1- La Nissan LEAF est une voiture électrique. Le constructeur a prévu le remplacement du générateur de courant continu par un autre identique dans des stations-service. 2- Modélisation du dispositif 3- Classification électrochimique Manipulation 1 Manipulation 2 Masse volumique du plomb : ρ kg/m 3 4- Caractéristiques de la Nissan Leaf : - Dimension de la batterie: 1,64 m 1,20 m 0,26 m ; - Masse totale du véhicule : 1474 kg On étudie le choix du type de batterie effectué par le constructeur. 1- Pourquoi Nissan a-t-il choisi une batterie plutôt qu une pile pour sa LEAF? Comment expliquer que le voltmètre de l accumulateur au plomb non chargé (plomb-plomb) indique 0V alors que celui de la pile Volta (zinc-cuivre) indique 1,1V? Que faudrait-il faire pour que l accumulateur au plomb soit en capacité délivrer une tension? La batterie de la Leaf est une Li-ion (lithium-ion) de masse environ égale à 300 kg. Pourquoi Nissan n a-t-il pas choisi une batterie au plomb pour équiper sa Leaf, alors que son coût est moindre?....