Résumé des communications des Intervenants

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1 Enseignements de la 1ere semaine (du 01 au 07 décembre 2014) I. Titre du cours : Introduction au calcul stochastique pour la finance Intervenante : Prof. M hamed EDDAHBI Dans le calcul différentiel dit de Leibnitz-Newton, on apprend la différenciation et intégration de fonctions déterministes. Le théorème fondamentale dans la différenciation est la règle du changement de variables, qui donne la différentielle de la composée de deux fonctions différentiables et d'une transformation non linéaire de fonctions différentiables. Dans le cadre des fonctions aléatoires (ou processus stochastiques) tel que le mouvement Brownien, la règle de la chaîne pour le calcul de Leibnitz--Newton ne marche plus dans ce cadre, parce que le mouvement Brownien se déplace si rapidement et irrégulièrement que presque toutes ses trajectoires sont nulle part différentiable. Donc nous ne pouvons pas différencier des fonctions du Brownien de manière similaire que dans le calcul Leibnitz--Newton. En 1944 Kiyosi Itô a publié le papier célèbre "stochastic Integrals" aux proceedings de de l'académie Impériale de Tokyo. C'était le commencement du calcul de Itô, l'équivalent du calcul de Leibnitz--Newton pour les fonctions aléatoires. Dans ce papier de six pages, Itô a introduit l'intégrale stochastique et une formule, connue comme la formule de Itô depuis lors. Cette formule, règle de la chaîne pour le calcul de Itô, ne peut pas être exprimé comme dans le calcul de Leibnitz--Newton en terme de dérivés, puisque les trajectoires du mouvement Brownien sont nulle part dérivable. La formule de Itô peut être interprété en forme intégrante seulement. De plus, il y a un terme supplémentaire dans la formule, appelé le terme de correction de Itô, qui résulte du fait que la variation quadratique du mouvement Brownien n'est pas nulle. Le calcul de Itô a été originalement motivé par la construction de processus de Markov ou diffusions par des générateurs infinitésimaux. Cependant, Itô a construit ces processus de diffusions directement comme les solutions d'équations différentielles stochastiques. De plus, les propriétés de ces processus peuvent être dérivés de la formule de Itô. Pendant les six dernières décennies la théorie d'intégration stochastique de Itô a été étudié largement et appliquée dans une grande gamme de champs scientifiques. La plus importante est à la théorie de valorisation et couverture de Black--Scholes et sa généralisation en finance. Le calcul de Itô a un grand spectre d'applications dans chaque discipline scientifique qui implique les processus stochastiques. L'objectif de ce cours est de donner les éléments nécessaires pour développer le calcul différentiel stochastique, notamment la théorie de l'intégration stochastique pour le mouvement Brownien. Nous

2 établissons la formule de changement de variable dite formule de Itô dans ce cadre. Cette formule permet en particulier de construire d'autres processus stochastique lié au Brownien notamment les martingales. La formule de Itô permet aussi de donner des interprétations probabilistes à des équations aux dérivées partielles. Nous étudierons également les équations différentielles stochastiques (EDS), en particulier existence et unicité des solutions. Nous donnons des applications en finance mathématique notamment la valorisation et la couverture des produits dérivés. Comme autres applications de cette théorie nous allons montrer aussi à travers des exemples, en utilisant la propriété de Markov, les liens qui existent entre les équations aux dérivées partielles et les équations différentielles stochastiques. Ceci montre clairement que le calcul stochastique peut être un outil puissant pour la résolution des équations aux dérivées partielles en particulier la méthode numérique Monte Carlo. II. Titre du cours : Marches financiers et Théorie des Options Dr Jules SADEFO KAMDEM Ces exposés couvrent le fonctionnement des marchés d options, futures et la gestion du risque qu ils impliquent. Il suppose que le lecteur ait suivi un cours introductif en finance, probabilité ou statistiques. Introduction aux options et aux futures Les marchés d options et futures Le fonctionnement des marchés d options Le fonctionnement des marchés de futures La détermination des prix futures et forwards Stratégies de couverture par les contrats futures Introduction aux arbres binomiaux et modèle de Black Scholes Décision d investissement et options réelles L évaluation des investissements Le prix des matières premières Evaluation des options incluses dans une opportunité d investissement Dérivés climatiques, d énergie et d assurance Les questions relatives à l évaluation Les dérivés climatiques et d énergie Les dérivés assurantiels

3 III. Titre du cours : Introduction aux méthodes numériques pour la finance de marché Prof Bernard LAPEYRE Objectifs, panorama des différentes méthodes Méthodes de Monte-Carlo : principes et mise en œuvre Techniques de réduction de variance Liens entre EDS et EDP, exemples en finance de marché Méthodes numériques pour les EDP issues de la finance Approximation de diffusions par des chaînes, méthodes d'arbres Approximation de diffusions pour la simulation, discrétisation d'eds IV. Titre du cours: Gestion des Risques : outils mathématiques, produits et acteurs financiers Dr Idriss TCHAPDA DJAMEN L objectif de ce cours est de présenter la gestion des risques à travers les outils mathématiques, les produits et les acteurs financiers. Dans un premier temps, nous présentons les principaux risques financiers et montrons comment les appréhender. La seconde partie sera consacrée au financement des risques. Nous présentons des outils mathématiques utilisés dans le financement par rétention des risques puis quelques produits financiers utilisés dans le financement par transfert des risques. La troisième partie est consacrée à la dernière crise financière et aux quelques solutions proposées pour réduire les impacts du risque systémique. Nous présentons comment le risque de liquidité a été un facteur amplificateur. Nous portons notre attention sur l apparition de nouveaux acteurs, les chambres de compensation, qui permettent une gestion mutualisée du risque systémique et offrent plus de sécurité sur les marchés financiers. Ce cours, structuré en 5 chapitres, présente également la modélisation mathématique des produits financiers abordés. 1. Appréhender les risques financiers. Présentation des principaux risques financiers, crédit, contrepartie, marché et liquidité et des outils mathématiques nécessaires à leur modélisation. Nous abordons également des concepts tels que la diversification et la concentration qui sont rencontrés dans le contexte de portefeuilles 2. Outils de financements des risques. Ce second chapitre traite de la problématique de rétention des risques et présente des outils de gestion tels que le capital réglementaire et le capital économique. Des

4 outils mathématiques tels que les quantiles et la TailVaR qui permettent de quantifier ou d allouer le capital sont également présentés. 3. Outils de transfert des risques. A travers la modélisation des opérations de transfert des risques tels que les dérivés de crédit, nous présentons comment les produits dérivés permettent une gestion optimale du bilan. 4. Le risque de liquidité. La dernière crise financière été l occasion d une manifestation du risque systémique exacerbée par le marché des dérivés de gré à gré avec la faillite d une grande banque d affaires. Nous illustrons ce qui n a pas fonctionné et présentons les principaux outils qui permettent une meilleure gestion du risque de liquidité. 5. Les chambres de compensation. Sous l impulsion du G20, ces nouveaux acteurs sont promus à un développement important dans le futur. Nous montrons comment ils permettent une gestion optimale des risques de crédit et de liquidité.

5 Enseignements de la seconde semaine (du 08 au 12 décembre 2014) I. Titre du cours: Statistique Bayesienne et applications Dr. Siméon FOTSO Objectif: Présenter l analyse statistique bayésienne en utilisant l information a priori disponible et les différents critères d optimalité de la théorie de décision statistique. Un accent est mis sur le calcul des estimateurs de bayes en estimation ponctuelle et une application est présentée en crédibilité bayésienne. Chapitre 1 : Bases de la statistique bayésienne 1.1 Théorème de Bayes 1.2 Distribution de probabilité a priori 1.3 Distribution de probabilité a posteriori 1.4 Théorie de la décision statistique Résumé du contenu du programme Chapitre 2 : Inférence bayésienne 2.1 Le cadre 2.2 Estimation ponctuelle : Règle de Bayes Exemples 2.3 Distributions conjuguées 2.4 Approche bayésienne empirique 2.5 Intervalle de confiance bayésien Chapitre 3 : Crédibilité bayésienne 3.1 Exemple introductif: bons risques mauvais risques 3.2 Modélisation de l hétérogenéïté 3.3 Prime de risque, prime collective, prime bayésienne 3.4 Distribution prédictive 3.5 Exemples

6 II. Titre du cours: Modèles en Assurance vie Dr. Aymric KAMEGA Modèles de durée et tables de mortalité en assurance vie en zone CIMA (6h) Cet enseignement présente et illustre les notions suivantes (de manière introductive, avec des illustrations dans le cadre de la zone CIMA) : - quelques rappels sur le rôle des tables de mortalité en assurance vie, - préparation des données, - calcul et lissage des taux bruts (Hoem, Kaplan-Meier, Brass, Thatcher, etc.) - Illustration : construction des nouvelles tables CIMA, - Illustration : contrôle et suivi des nouvelles tables CIMA, - perspectives : modélisation de l hétérogénéité en zone CIMA (Cox, Lin et Ying, etc.), - perspectives : modélisation de la mortalité prospective en zone CIMA (Brass, Bongaarts, etc.). Génération de scénarios économiques en assurance vie en zone CIMA (3h) : Cet enseignement présente (de manière introductive) l utilisation de modèles financiers en assurance vie à travers à travers une illustration des notions suivantes : - quelques rappels sur les générateurs de scénarios économiques en assurance vie - quelques rappels sur les risques financiers (action, taux d intérêt, etc.) et de modèles composites (Black et Scholes, Vasicek, CIR, etc.), - présentation de modèles intégrés (Brennan et Xia, Ahlgrim, etc.), - distinction entre l univers de probabilité historique et l univers de probabilité risque neutre, - mise en œuvre des générateurs de scénarios économiques en probabilités historiques (préparation des données, discrétisation des processus, exemple de calibrage, etc.). Pilotage et gestion des risques d une compagnie d assurance vie en zone CIMA (3h) : Cet enseignement présente (de manière introductive) la situation et les perspectives de l assurance vie à travers les notions suivantes : - états des lieux et défis de l assurance vie au Cameroun et en zone CIMA, - dispositions réglementaires actuelles de l assurance vie en zone CIMA, - évolutions des dispositions prudentielles et comptables à l échelle internationale, dispositions relatives à la gestion et à l évaluation internes des risques d assurance vie en zone CIMA.

7 III. Titre du cours: Modélisation et prévision en Assurance de dommages (IARD) M. Eric MANIABLE Ce cours est constitué de quatre parties dont chacune durera entre 3 à 4 h. Ces parties sont développées dans une optique d application aux assurances de dommages (IARD). Théorie des valeurs extrêmes, cas univarié Lois limites du maximum Les dépassements de seuil Estimation des paramètres des lois des extrêmes Provisions stochastique et solvabilité en IARD Introduction sur les provisions Grandes familles de méthodes stochastiques VaR, TVaR, Provisionnement et Solvabilité Quelques méthodes alternatives de provisionnement Modèle analogue au modèle de durée avec censure Modèle à dynamique markovienne Modèle à trajectoire de sinistre Réassurance non-proportionnelle IARD et tarification Bases techniques Quelques méthodes usuelles de tarification Application de la théorie des valeurs extrêmes