F1C1/ Analyse. El Hadji Malick DIA

Transcription

1 F1C1/ Analyse Présenté par : El Hadji Malick DIA dia.elmalick1@gmail.com

2 Description sommaire du cours Porte sur l analyse réelle propose des outils de travail sur des éléments de topologie élémentaire ainsi que sur le calcul différentiel. L enseignant trouvera ici des outils qui lui permettront d aborder ses cours du cycle moyen et secondaire avec plusieurs angles d attaque. Il n est pas dispensée sous la forme classique ; on s est efforcé dans la mesure du possible, à l adapter à ce qui est réellement enseigné dans les petites classes.

3 Place du cours dans le programme Cours à suivre après l obtention du bac S. Cours concomitants avec tous les cours du programme de F 1 C 1.

4 OBJECTIFS Renforcer le niveau académique du stagiaire ; Permettre au stagiaire de préparer son cours avec plus de recul.

5 CONTENU 1. Structures algébrique et topologique de IR 2. Généralités sur les fonctions numériques 3. Limites et continuité 4. Dérivabilité

6 MODE DE DEROULEMENT DU COURS Présentiel : Présentation du cours Echanges via dia.elmalick1@gmail.com Questions/Réponses autour du cours et des exercices Présentiel en septembre 2015 : Révision générale

7 MODE D ÉVALUATION Examen en Octobre

8 BIBLIOGRAPHIE 8 1. Lelong-Ferrand, Arnaudiès : Cours de mathématiques, Analyse, Tome 2 2. J. Dieudonné, Eléments d analyse (Gauthier- Villars) 3. Diop El Hadji Cheickh M'Bake, Edmond Fedida, Mamadou Sanghare - Analyse : Premier cycle universitaire - AUPELF-UREF, 1996.

9 Ce qu on attend de vous 1. Travail régulier et continue 2. Investissement personnel

10 L essentiel du cours Qu est ce qui est exigible?

11 Chapitre 1 Structures algébrique et topologique de l ensemble des nombres réels

12 Objectifs A la fin de ce chapitre l élève professeur devra comprendre la structure de corps totalement ordonné de IR ainsi que sa topologie en vue de pouvoir manipuler les notions d intervalle, de voisinage, d adhérence, de points d accumulation, de distance. En outre, il devra être capable de résoudre les équations et inéquations avec valeur absolue et faire des approximations entières et décimales de réels.

13 Plan du chapitre 1. Présentation du corps totalement ordonné 2. Sous ensembles majorés, minorés, bornés- Intervalles de IR 3. Valeur absolue et distance dans IR 4. Approximation d un réel

14 Compétences exigibles 1. Reconnaitre un nombre décimal, rationnel, irrationnel 2. Déterminer avec justification une bore supérieure, une borne inférieure, un max, un min, un point d accumulation. 3. Résoudre des équations et inéquations avec partie entière

15 Chapitre 2 Généralités sur les fonctions numériques

16 Objectifs Il s agit de connaître et de savoir utiliser les notions de fonctions, d applications, de composition d applications, d injections, de surjections et de bijections.

17 Plan du chapitre 1. Notion de fonction. 2. Fonction numérique à variable réelle

18 Compétences exigibles 1. Connaitre et pouvoir utiliser les notions de fonction, d application, d injection, de surjection, de bijection, de composée, etc. 2. Connaitre et pouvoir utiliser les propriétés éventuelles des fonctions numériques ; 3. Pouvoir représenter graphiquement une fonction à l aide ses propriétés.

19 Chapitre 3 Limite et continuité

20 Objectifs Il s agit de connaître et de savoir utiliser la définition de la notion de limite ainsi que celle de la continuité, ceci en vu de pouvoir justifier certains résultats, faire certains calculs et interpréter graphiquement ces notions

21 Plan du chapitre 1. Comportement d une fonction au voisinage d un réel 2. Comportement d une fonction au voisinage de l infini 3. Théorèmes généraux sur les limites de fonctions 4. Continuité

22 Compétences exigibles 1. Démontrer qu une fonction admet pour limite un réel ou l infini en un point ou à l infini ; 2. Démontrer qu une fonction est continue en un point ou sur une partie de IR ; 3. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des fonctions continues et strictement monotones pour montrer l existence de solutions d une équation ainsi que des valeurs approchées de solutions.

23 Chapitre 4 Dérivation

24 Objectifs Il s agit de connaître la notion de dérivé ainsi que sa signification géométrique et son utilisation dans des approximations affines et des problèmes d optimisation.

25 Plan du chapitre 1. Nombre dérivé 2. Fonction dérivée 3. Approximation affine

26 Compétences exigibles 1. Démontrer qu une fonction est dérivable en un point ou sur un intervalle ; 2. Interpréter géométriquement des cas de dérivabilité et de non dérivabilité ; 3. Utiliser la fonction dérivée pour étudier le sens de variations, résoudre des problèmes d optimisation, etc. 4. Connaitre le théorème des accroissements finis et ses conséquences