3. Conditionnement P (B)
|
|
- Gabriel Ringuette
- il y a 9 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Conditionnement Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte de la donnée a priori d une information supplémentaire sur le résultat de l expérience aléatoire. La notion d espérance conditionnelle (et plus généralement de loi conditionnelle) est à la base de la plupart des constructions de la théorie moderne des probabilités. Sauf mention contraire, on suppose donné un espace de probabilités (Ω, F, P ) Probabilité conditionnelle et indépendance. Commençons par quelques rappels de notions élémentaires. Définition 3.1. Soient A et B deux événements tels que P (B) 0. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le réel P (A/B) =. P (A B) P (B) Il faut bien sûr comprendre intuitivement la définition précédente comme mesurant la probabilité normalisée de ceux des ω B qui réalisent A. En quelque sorte, puisqu on connaît le fait que B se réalise, l espace de probabilités peut être restreint à B. Le cas particulier majeur de cette situation est celle où B n a pas d influence sur A, ce qui s exprime aussi en disant que conditionner ou non par B ne change pas la probabilité de A. Ce qui revient à dire que P (A/B) = P (A) ou encore P (A B) = P (A)P (B). Prolongeant cette définition au cas où P (B) = 0, on a la définition classique suivante Définition 3.2. a) Deux événements A et B sont indépendants si on a P (A B) = P (A)P (B). b) Deux sous-tribus G et H de F sont indépendantes si et seulement si tout élément de G et tout élément de H sont indépendants. L exercice suivant montre, si besoin était, qu il n y a aucun rapport entre l indépendance et la disjonction. Exercice 3.3. Montrer que A et A c sont indépendants si et seulement si P (A) = 0 ou 1. On prolonge comme d habitude cette définition au cas de n événements et plus généralement au cas de n variables aléatoires. Théorème et Définition 3.4. Soient X 1,..., X n des variables aléatoires à valeurs dans des espaces mesurables (E 1, E 1 ),..., (E n, E n ). On dit que les variables X 1,..., X n sont indépendantes si une des propriétés équivalentes suivantes est réalisée n (i) (A 1,..., A n ) E 1 E n, P (X 1 A 1,..., X n A n ) = P (X k A k ) (ii) µ (X1,...,X n)(dx 1,..., dx n ) = n µ Xk (dx k ) (iii) Pour toutes fonctions f k : E k R mesurables bornées (resp. mesurables positives), on a n n E( f k (X k )) = E(f k (X k )). Les équivalences du Théorème et Définition 3.4 sont laissées en exercice. Rappelons aussi à toutes fins utiles la Définition 3.5. On dit que la suite de variables aléatoires (X n ) n N est composée de variables indépendantes si et seulement si pour tout n, les variables X 1,..., X n sont indépendantes.
2 Conditionnement 17 Un résultat fondamental lié aux suites de variables indépendantes est dû à Kolmogorov: Théorème 3.6. (loi du 0-1) Soit (X n ) n 0 une suite de variables aléatoires indépendantes. On pose G = n 0 σ(x k, k n) ( tribu de queue ). Alors, A G, P (A) = 0 ou 1. Preuve: Posons F = σ(x 0, X 1,..., X n,... ). Noter qu évidemment G F. Soient A G et C = {B F, P (A B) = P (A)P (B)}. On vérifie immédiatement que C est une classe monotone. De plus, C contient l algèbre de Boole B = n 0 σ(x 0,..., X n ). Par le théorème de classe monotone (Théorème 1.2), il contient donc la tribu engendrée par B, c est à dire F. En particulier, A C et donc A est indépendant de lui même, ce qui équivaut à P (A) = 0 ou 1. Exercice 3.7. Soient A 1,..., A n des événements. a) Montrer que si A 1,..., A n sont indépendants, il en est de même de A 1,..., A n 1, A c n. b) Déduire que J {1,..., n}, (A c j, j J; A i, i {1,..., n} \ J) forme un ensemble de variables indépendantes. c) Montrer que A 1,..., A n sont indépendants si et seulement si les variables aléatoires 1 A1,..., 1 An sont indépendantes. Exercice 3.8. On se place sur l espace de probabilités ([0, 1], B, λ). Soit x [0, 1]. On écrit x sous la x k forme de sa décomposition dyadique x = 2 k et on pose X k(x) = x k. a) Montrer que les variables aléatoires (X k ) k 1 forment une suite de variables indépendantes et de même loi 1 2 (δ 0 + δ 1 ). b) Montrer qu il existe une suite (Y n ) de variables aléatoires indépendantes sur ([0, 1], B, λ) telle que Y n suit une loi uniforme sur [0, 1]. c) Soit (µ n ) n 1 une suite de mesures de probabilités sur R. Montrer qu il existe une probabilité IP sur E = R N telle que sous IP, les projections canoniques z k : E R, (x n ) n 0 x k forment une suite de variables indépendantes et z n a pour loi µ n. Exercice 3.9. Soit (B t ) t R + vérifiant les conditions suivantes: une famille de variables aléatoires (i) t 1 < t 2 < < t n, (B t1,..., B tn ) est un vecteur gaussien centré (ii) (s, t), E(B s B t ) = s t (iii) p.s., t B t (ω) est une fonction continue a) Montrer que (B t ) est à accroissements indépendants et stationnaires i.e. t 1 < t 2 < < t n, B t1, B t2 B t1,..., B tn B tn 1 sont des variables indépendantes et s < t, B t B s a même loi que B t s. n 1 b) On pose G n t = (B k+1 n k=0 t B k n t)2. Montrer qu il existe une suite n p telle que G np t t p.s. c) Soit t > 0. Montrer que p.s., s B s (ω) n est pas à variations finies sur l intervalle [0, t]. Exercice On rappelle la Formule de Poincaré: si (A 1,..., A n ) sont des événements, n n P ( A k ) = ( 1) k 1 S k où S k = 1 i 1 <i 2 < <i k n P (A i1 A ik ).
3 A) Sur N, on considère la probabilité P s (s > 1 réel fixé), définie par où ζ(s) = n 1 1 (fonction de Riemann). ns Conditionnement 18 P s ({n}) = 1 ζ(s)n s Pour p premier, on définit les variables aléatoires ρ p et α p par ρ p (n) = 1 si p divise n, 0 sinon, et α p (n) = exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de n. a) Trouver la loi des variables ρ p et montrer qu elles sont indépendantes. b) Montrer que ζ(s) = (1 1 p s ) 1 où {p k, k 1} désigne la suite des nombres premiers dans N. k B) Soit N 2 un entier fixé. On pose Ω = {1,..., N} 2 et on note P N la probabilité uniforme sur Ω. 1) On introduit les événements B = { les entiers choisis sont premiers entre eux} et A p = { les entiers choisis sont divisibles par p} où p est premier. On note p 1, p 2,..., p n les nombres premiers inférieurs à N et on fixe un entier m 1. a) Montrer que où S k = 1 N 2 1 i 1 <i 2 < <i k m m P N ( A pk ) = [N/p i1... p ik ] 2. m ( 1) k 1 S k b) Déduire, toujours pour m fixé, que m m lim P N ( A pk ) = 1 N (1 1 p 2 ). k c) Conclure que lim N + P N(B) = 6 π Espérance conditionnelle. La notion d espérance conditionnelle prolonge le formalisme précédent en cherchant à intégrer la connaissance de la valeur d une variable aléatoire, et plus seulement celle du fait qu un événement particulier s est réalisé. Commençons par une situation simple mais exemplaire de ce qu on cherche à faire. Soit X une variable aléatoire réelle et T une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble dénombrable E = {t 0, t 1,..., t n,... }. D après le paragraphe précédent, pour k N, sur l événement (T = t k ) est définie une probabilité Q k = P (./T = t k ) qui réprésente la mesure de probabilité P tenant compte du fait que (T = t k ) s est réalisé. De ce fait, la valeur moyenne de X sachant que T = t k sera naturellement prise égale à E(X/T = t k ) = X(ω)dQ k (ω), et on définira par suite l espérance conditionnelle (T =t k ) de X sachant T comme étant la variable aléatoire égale à E(X/T ) = k 0 E(X/T = t k )1 (T =tk ). Noter qu avec cette définition E(X/T ) apparaît comme une fonction de T, ou encore comme une variable σ(t )-mesurable. Pour chercher à prolonger ce résultat au cas de variables T à valeurs non dénombrables, on peut remarquer sur l exemple précédent que pour n importe quelle fonction bornée f : E R, E(f(T )X) = k 0 f(t k)e(1 (T =tk )X). Or, comme pour n importe quel A F, E(1 (T =tk )1 A ) = P ((T = t k ) A) =
4 Conditionnement 19 P (T = t k )Q k (A) = E(1 (T =tk )Q k (A)), on en déduit par les arguments habituels que E(1 (T =tk )X) = XdQ k ), et donc que E(1 (T =tk ) Ω E(f(T )X) = E( k 0 f(t k )1 (T =tk ) Ceci conduit naturellement à poser la définition suivante. Ω XdQ k ) = E(f(T )E(X/T )). Théorème et Définition Soient X une variable aléatoire réelle admettant un moment d ordre 1 et T une variable aléatoire. On appelle espérance conditionnelle de X sachant T l unique variable aléatoire Y mesurable par rapport à σ(t )telle que pour toute variable bornée Z mesurable par rapport à σ(t ), on ait E(X.Z) = E(Y.Z). (3.1) Cette variable est notée E(X/T ) ou E σ(t ) (X). Preuve: Unicité: Supposons que Y et Y satisfassent la Définition La variable aléatoire Z = Y Y Y Y 1 Y Y est σ(t ) mesurable et bornée. De ce fait, en appliquant (3.1), 0 = E((Y Y )Z) = E( Y Y 1 Y Y ) d où Y = Y -p.s. Existence: Commençons par supposer que X L 2 (Ω, F, P ). Posons H = L 2 (Ω, σ(t ), P ), il s agit d un sous espace vectoriel fermé de l espace de Hilbert L 2 (Ω, F, P ), et de ce fait, on peut définir Y la projection orthogonale de X sur H. C est une variable σ(t )-mesurable et elle satisfait, pour toute variable Z σ(t )-mesurable et bornée (et donc dans H), E(XZ) = E(Y Z) soit (3.1). D où l existence cherchée dans ce cas. Noter que par propriété de la projection orthogonale, l espérance conditionnelle sur L 2 est ainsi linéaire. Prenant Z = 1 dans (3.1) montre que E(E(X/T )) = E(X). De plus, si X 0, E(X/T ) 0 (prendre Z = 1 E(X/T ) 0 dans (3.1)). De ce fait, pour X L 2, on a E( X /T ) E(X/T ) et donc, prenant l espérance, E(X/T ) 1 X 1. Achevons la preuve du Théorème Supposons que X soit dans L 1. On peut trouver une suite X n de variables de L 2 telle que X n X 1 0. On a E(X n /T ) E(X p /T ) 1 X n X p 1 et donc E(X n /T ) est une suite de Cauchy dans L 1 qui converge vers un élément noté E(X/T ). Pour tout Z, σ(t )-mesurable et borné, on a E(X n.z) = E(E(X n /T ).Z) et donc par passage à la limite L 1, E(X.Z) = E(E(X/T ).Z). Les principales propriétés de l espérance conditionnelle sont rappelées dans la proposition ci-dessous dont la démonstration est laissée en exercice ((i),(ii) et (iv) ont déjà été prouvées). Proposition Soit T une variable aléatoire et soit X une v.a.r. intégrable. (i) E(./T ) est un opérateur linéaire positif continu sur L 1 (ii) Si X est σ(t )-mesurable, E(X/T ) = X, p.s. (iii) Si ϕ est convexe sur R, ϕ(e(x/t )) E(ϕ(X)/T ) p.s. (iv) E(X/T ) 1 X 1 (v) Si X n X p.s., et n 0, X n Y L 1, E(X n /T ) E(X/T ) p.s. Il sera souvent utile de considérer l information apportée dans le conditionnement sous la forme d une sous-tribu B de F, le cas précédent correspondant à B = σ(t ). La Définition 3.11 s étend alors naturellement:
5 Conditionnement 20 Définition Soient X une variable aléatoire réelle intégrable, et B une sous-tribu de F. On appelle espérance conditionnelle de X sachant B l unique variable aléatoire Y, B-mesurable, telle que Z, B-mesurable bornée, E(X.Z) = E(Y.Z). Une propriété utile qui se déduit de la définition précédente est l emboîtement des conditionnements successifs. Proposition Soient X une variable aléatoire réelle intégrable et B B deux sous-tribus de F. Alors E(X/B ) = E[E(X/B)/B ]. Preuve: Il suffit de remarquer que E(E(X/B)/B ) est une variable aléatoire B -mesurable et que, pour toute variable aléatoire Y, B mesurable bornée, on a E(Y.E[E(X/B)/B ]) = E(Y.E(X/B)) = E(Y.X), la dernière égalité résultant du fait que Y est aussi B-mesurable. Notons enfin, pour clore ce paragraphe sur l espérance conditionnelle que si X et T sont indépendantes, la relation (3.1) est évidemment vérifiée en prenant Y égale à la constante E(X), et donc, vu l unicité de l espérance conditionnelle, on peut énoncer Corollaire Soient X une v.a.r. intégrable, et T une variable aléatoire telles que X et T soient indépendantes. Alors, E(X/T ) = E(X) p.s. Exercice Soit (B i ) i I la famille de toutes les sous-tribus de F et X une v.a. intégrable. Montrer que la famille (IE B i (X)) i I est équi-intégrable. Exercice On pose Var(X/G) = E[(X E(X/G)) 2 /G]. Montrer que Var(X) = E[Var(X/G)] + Var(E(X/G)). Exercice a1) Soient (X, Y, Z) tel que (X, Z) (Y, Z). Montrer que f 0 et borélienne, E(f(X)/Z) = E(f(Y )/Z). a2) On pose h 1 (X) = E(g(Z)/X) et h 2 (Y ) = E(g(Z)/Y ) pour g borélienne positive donnée. Montrer que h 1 = h 2, µ-pp, où µ désigne la loi de X. b) Soient T 1,..., T n des variables aléatoires réelles intégrables indépendantes et de même loi. On pose T = T T n. b1) Montrer que E(T 1 /T ) = T n. b2) Calculer E(T/T 1 ) Exercice Soit (X n ) une suite de variables aléatoires réelles idépendantes à valeurs dans R d. On pose S 0 = 0, S n = X 1 + +X n, F n = σ(s k, k n). Montrer que pour toute f : R d R borélienne bornée, E(f(S n )/F n 1 ) = E(f(S n )/S n 1 ) et calculer cette quantité. Exercice a) Soit X à valeurs dans R m tel que X = ϕ(y ) + Z où Y et Z sont indépendantes. Calculer E(f(X)/Y ). b) Soient X et Y à valeurs dans R k et R p respectivement. On suppose que (X, Y ) est un vecteur gaussien de moyenne On suppose R Y inversible. b1) Déterminer A telle que X AY et Y soient indépendantes. ( ) ( ) MX RX R et de covariance XY. M Y R Y X R Y b2) Montrer que E(f(X)/Y ) = f(x)µ Y (dx) où µ Y est la loi gaussienne de moyenne E(X/Y ) = M X + R XY R 1 Y (Y M Y ) et de covariance R X R XY R 1 Y R Y X.
6 Conditionnement 21 Exercice A) Soient σ > 0, a R d et C une matrice d d définie positive. Montrer que (C + σ 2 a t a) 1 = C 1 C 1 a t ac 1 σ 2 + < C 1 a, a >. B) Soient (Z n ) une suite de variables aléatoires réelles idépendantes. On suppose que pour tout n, Z n N (0, c 2 n) où c n > 0. Soit X une variable aléatoire de loi N (0, σ 2 ) (σ > 0), indépendante de la suite (Z n ). On pose Y n = X + Z n, G n = σ(y 1,..., Y n ), ˆXn = E(X/G n ). On pose Y n = (Y 1,..., Y n ). B1) Quelle est la loi de (X, Y 1,..., Y n )? B2) Calculer E(f(X)/Y n ) B3) Calculer ˆX n et E((X ˆX n ) 2 ) B4) Montrer que ˆX n X dans L 2 si et seulement si n 1 c 2 n = +. Exercice Soient F 1, F 2, F 3 trois sous-tribus de F. On dit que F 1 et F 2 sont conditionnellement indépendantes sachant F 3 si (A, B) F 1 F 2, E(1 A 1 B /F 3 ) = E(1 A /F 3 )E(1 B /F 3 ). Montrer que ceci équivaut à: Y, F 2 -mesurable bornée, E(Y/F 3 ) = E(Y/F 13 ), où F 13 = σ(f 1, F 3 ) Lois conditionnelles. De même que la loi d une variable aléatoire X contient l information probabiliste requise pour l utilisation de cette variable, on a naturellement besoin d une notion correspondante pour l information qu apporte cette variable lorsqu on connait en plus une autre variable aléatoire T. C est le rôle que va jouer la loi conditionnelle. Soient X une variable aléatoire à valeurs dans (E, E) et T une variable aléatoire. Le problème qu on se pose est le suivant: construire une mesure ν T sur (E, E) telle que pour toute fonction f : E R mesurable bornée, on ait E(f(X)/T ) = E f(x)ν T (dx). Naturellement, une telle relation va imposer à ν T d être une mesure aléatoire, et même plus précisément que l aléa se lise à travers T (puisque par définition, E(f(X)/T ) est une variable σ(t )-mesurable). L idée qui vient naturellement est de définir la mesure ν T par ν T (A) = E(1 A (X)/T ). Le problème est que la relation précédente, une égalité entre variables aléatoires, n a de sens que p.s. et donc, sauf dans le cas particulier où X prend un nombre dénombrable de valeurs, il n est pas du tout évident que ν T (ω) ainsi définie soit une probabilité sur (E, E). De ce fait, on a en fait besoin de trouver ce qu on nomme une probabilité conditionnelle régulière qui permette de définir une véritable mesure aléatoire. La définition formelle suivante fixe le cadre. Définition Soit (E, E) un espace mesurable et T une variable aléatoire à valeurs dans (F, F). On appelle T -probabilité de transition sur E une application ν : Ω E [0, + ] telle que (i) A E, ω ν(ω, A) est une variable aléatoire σ(t )-mesurable (ii)p -p.s., ν(ω, dx) est une mesure de probabilité sur (E, E) Pour une variable aléatoire X à valeurs dans un espace mesurable quelconque, on ne peut pas trouver en général de loi conditionnelle régulière. Le résultat suivant est de ce fait très important. Théorème et Définition Soient X une variable aléatoire réelle à valeurs dans (E, E) un espace métrique séparable muni de sa tribu borélienne, et T une variable aléatoire. Une loi conditionnelle régulière de X sachant T existe et est une T -probabilité de transition ν T sur E telle que f : E R mesurable bornée, E(f(X)/T )(ω) = f(x)ν T (ω)(dx)p.s.. E
7 Conditionnement 22 Preuve: Nous nous contenterons de faire la démonstration pour E = R n et dans un deuxième temps expliquerons comment elle s étend à E = R N. Le lecteur que tout cela excite pourra chercher la démonstration générale dans la littérature. Cas E = R n : On pose X = (X 1,..., X n ). Pour r 1,..., r n des rationnels, définissons F ω (r 1,..., r n ) = E(1 T n i=1 (X i<r i )/T )(ω). Notons que, pour (r 1,..., r n ) et (r 1,..., r n) fixés tels que r i r i, 1 i n, on a F ω(r 1,..., r n ) F ω (r 1,..., r n) p.s. On a de plus, pour tout choix de (r 1,..., r n ), F ω (r 1 1 k,..., r n 1 k ) k + F ω (r 1,..., r n ) p.s. Donc on peut trouver un ensemble N tel que P (N) = 0 tel que sur N c, F définit une fonction croissante n-variée sur Q n et continue à gauche sur les rationnels. On peut de plus exiger (même raisonnement) que F tende vers 0 quand les r i tendent vers et vers 1 quand ils tendent vers +. On prolonge alors F à R n par continuité en posant, pour ω / N, F ω (x 1,..., x n ) = sup F ω (r 1,..., r n ). r 1 <x 1,...,r n<x n Pour ω N c, F ω détermine donc une mesure de probabilité sur E = R n que nous notons ν T (ω) soit la condition (ii) de la Définition Montrons que la condition (i) est également satisfaite. Soit L = {A E, ν T (., A) est σ(t )-mesurable et ν T (A) = E(1 A (X)/T ) p.s }. L est clairement un λ-système (voir l Exercice 1.3), qui contient par construction tous les pavés n i=1 ], r i[, r i Q qui forment clairement un π-système. De ce fait, par le πλ-théorème, L contient la tribu borélienne B(R n ). L égalité E(f(X)/T ) = E f(x)ν T (dx)p.s. pour une fonction f mesurable bornée est alors obtenue par un raisonnement classique. Cas E = R N : On note X k les coordonnées du processus X. Reprenons la démonstration précédente et notons, pour n N, F n la fonction F précédente définie sur Q n, en exigeant de plus que p.s. lim F ω n+1 (r 1,..., r n, r) = Fω n (r 1,..., r n ). (3.2) r +,r Q On prolonge p.s. par continuité à gauche F n (ω) à R n comme précédemment et notons µ n (ω) la mesure de probabilité sur R n associée. La condition (3.2) revient à dire que la suite (µ n )(ω) n 1 est compatible au sens du Théorème 1.18, et de ce fait détermine une unique probabilité ν T (ω) sur n (R N, B(R N )). On a pour tout B = ], r k [ R R R..., où les r k sont des rationnels, E(1 B (X)/T ) = E(1 X1 <r 1,...,X n<r n /T ) = F n (r 1,..., r n ) = ν T (B) p.s.. Un raisonnement identique à celui du cas précédent permet alors de conclure. La démonstration précédente dans le cas E = R n permet d obtenir une preuve du Théorème de Kolmogorov 1.18 dans le cas E = R N (noter que ce théorème servait, dans la démonstration du Théorème 3.24, uniquement pour prouver le cas E = R N, et il n y a donc pas d entourloupette!). Corollaire : (Théorème 1.18) Soit (µ n ) n 0 une famille de probabilités sur les espaces produit (R n+1, B(R n+1 )) qui satisfait la condition de compatibilité µ n (dx 0,..., dx n ) = µ n+1 (dx 0,..., dx n, dx n+1 ). R Alors il existe une unique probabilité P sur l espace canonique R N telle que sous P le processus canonique X admette les lois µ n comme répartitions finies.
8 Conditionnement 23 Preuve: Il suffit de démontrer que sur un espace de probabilité (Ω, F, P ), on peut trouver une suite de variables aléatoires réelles (X n ) n 0 telle que pour chaque n 0, la loi de (X 0,..., X n ) est donnée par µ n. La probabilité cherchée est alors la loi du processus. D après l Exercice 3.8, sur un espace (Ω, F, P ), il existe une suite de variables aléatoires indépendantes (U n ) n 0 de loi uniforme sur [0, 1]. Supposons que (X 0,..., X n 1 ) soit construit tel que (X 0,..., X k ) soit σ(u 0,..., U k )-mesurable et suive la loi µ k pour tout k n 1, et construisons X n. L idée va être de se débrouiller pour que cette variable admette la bonne loi conditionnelle sachant (X 0,..., X n 1 ). Considérons un vecteur aléatoire (Y 0,..., Y n ) sur un espace de probabilités (E, E, Q) de loi µ n (on peut par exemple prendre E = R n+1, Q la mesure µ n, et pour (Y 0,..., Y n ) le n + 1-uplet des projections canoniques). D après le premier cas de la démonstration du Théorème 3.24, il existe une loi conditionnelle de Y n sachant (Y 0,..., Y n 1 ), dont on note F n (y; Y 0,..., Y n 1 ) la fonction de répartition. Pour (y 0,..., y n 1 ) donné, soit G n (y; y 0,..., y n 1 ) = inf{t [0, 1], F n (y; y 0,..., y n 1 ) t} l inverse généralisée de F n ; on sait (cf. la démonstration du Théorème 2.26), qu alors G n (U n ; y 0,..., y n 1 ) suit la loi F n (dz; y 0,..., y n 1 ). Posons X n = G n (U n ; X 0,..., X n 1 ). Il est clair que X n est alors σ(u 0,..., U n ) mesurable. Examinons maintenant la loi de (X 0,..., X n ). Soit ϕ : R n+1 R mesurable bornée. E(ϕ(X 0,..., X n )) = E(ϕ(X 0,..., X n 1, G n (U n ; X 0,..., X n 1 )). Comme U n et (X 0,..., X n 1 ) sont indépendants, cette dernière expression se réécrit E( ϕ(x 0,..., X n 1, z)f n (dz; X 0,..., X n 1 )) R = ϕ(x 0,..., x n 1, z)f n (dz; x 0,..., x n 1 )µ n 1 (dx 0,..., dx n 1 ) R n+1 = ϕ(y 0,..., Y n 1, z)f n (dz; Y 0,..., Y n 1 )dq E R en utilisant le fait que (Y 0,..., Y n 1 ) suit la loi µ n 1 grâce à la condition de compatibilité, et cette dernière expression est aussi E Q (E Q (ϕ(y 0,..., Y n 1, Y n )/(Y 0,..., Y n 1 ))) = E Q (ϕ(y 0,..., Y n 1, Y n ) = ϕ(y 0,..., y n 1, y n )µ n+1 (dy 0,..., dy n ) R n+1 ce qui prouve donc que (X 0,..., X n ) suit la loi µ n. L exemple le plus important où la définition 3.24 s applique est celui où le vecteur (X, T ) est à valeurs dans R n+d et y admet une densité λ(x 1,..., x n ; t 1,..., t d ). La loi conditionnelle se calcule alors très aisément: Proposition Soit (X, T ) un vecteur aléatoire à valeurs dans R n+d dont la loi admet une densité λ(x 1,..., x n ; t 1,..., t d ). Alors la loi conditionnelle de X sachant T est p.s. la loi sur R n admettant λ(x la densité α T (x 1,..., x n ) = 1,..., x n ; T ). R n λ(u 1,..., u n ; T )du 1... du n Preuve: Naturellement, la loi aléatoire à densité précédente est bien une T -probabilité de transition sur R n. De plus, pour f et g boréliennes bornées sur R n, on peut écrire grâce au théorème de Fubini qui s applique ici (puisque f et g sont bornées), E(f(X)g(T )) = f(x)g(t)λ(x, t)dxdt = g(t)[ f(x)α t (dx)]ρ(t)dt R n R d R d R n où ρ(t) = R n λ(u 1,..., u n ; t)du 1... du n est la densité de la loi de T. De ce fait, on a E(f(X)g(T )) = E(g(T )[ R n f(x)α T (dx)]) et donc p.s. E(f(X)/T ) = R n f(x)α T (dx).
9 Conditionnement 24 Exercice Soient T 1, T 2,... des variables aléatoires de loi exponentielle de paramètre λ indépendantes. On pose T = T T n. a) Déterminer la loi conditionnelle de T 1 sachant T et calculer E(T 1 /T ). b) Calculer E(T 2 1 /T ) et E(T 1T 2 /T ). Exercice Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi de densité f. Soit M = max(x, Y ). Déterminer la loi conditionnelle de X sachant M.
Espérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailMA6.06 : Mesure et Probabilités
Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailThéorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailIntégrale de Lebesgue
Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailIntégration sur des espaces produits
Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY. Monique Jeanblanc
Cours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY Monique Jeanblanc Septembre 26 2 Contents 1 Généralités 7 1.1 Tribu............................................... 7 1.1.1 Définition d une tribu.................................
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailPROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390
PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 Université PARIS 6 2008/2009 Jean BERTOIN 1 Table des Matières ( ) ces parties peuvent ^etre omises en première lecture, et ne feront pas
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailModèles et Méthodes de Réservation
Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailProduits d espaces mesurés
Chapitre 7 Produits d espaces mesurés 7.1 Motivation Au chapitre 2, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de R (notée B(R)), ce qui nous a permis d exprimer la notion de longueur
Plus en détailLicence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailLes mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détail4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
Plus en détailCalcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE
Calcul Stochastique pour la finance Romuald ELIE 2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis
Plus en détailTHÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.
THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................
Plus en détailMesures et Intégration
Mesures et Intégration Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005 30 avril 2008 Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l EPFL par Marc Troyanov, version 2005-2006. Table des
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détail