Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

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1 Service Commun de Formation Continue Année Universitaire Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1 B.P. 239, F Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex. [email protected]

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3 Avant-Propos Ce cours présente les concepts fondamentaux de l Analyse des fonctions de plusieurs variables. Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelopement limité, bien connus dans le cas des fonctions d une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une formalisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux de développement : l optimisation (recherche d extremums, minimisaton d une énergie, etc.); les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des ondes, etc.); l intégration (calculs de moments d inertie, de flux, etc.). Travail personnel de préparation : le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l étudier sérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en discutions en cours. Yannick Privat iii

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5 Table des matières 1 Introduction à l étude des fonctions de plusieurs variables Fonctions de deux variables à valeurs réelles Exemple mathématique et définition Exemple en Physique Représentation graphique d une fonction à deux variables Dérivées partielles Rappel : dérivation d une fonction de R dans R Calcul de dérivées partielles Dérivées partielles d ordre supérieur Fonction de n variables Fonction de trois variables à valeurs réelles Fonctions à valeurs vectorielles Généralisation Exercices du chapitre Calculs de limites et continuité Technique de recherche de limites Cas réel Formes indéterminées Techniques pour lever les indéterminations Fonctions polynôme ou rationnelle Technique du nombre dérivé Développements limités Formule de Taylor-Lagrange Contiuité des fonctions Cas réel Cas des fonctions de R 2 dans R v

6 vi TABLE DES MATIÈRES Techniques générales Exercices du chapitre Notion de différentiabilité Applications linéaires Calcul différentiel Dérivée selon un vecteur Fonctions f : R n R p Application différentielle Développement limité Expression explicite de la différentielle Méthode générale de calcul Conséquences de la différentiabilité Notion de gradient Schéma récapitulatif Exercices du chapitre Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien Matrice jacobienne Différentiabilité des fonctions de R n dans R p Généralisation Le Jacobien Notion de C 1 -difféomorphisme Généralités Caractérisation Exercices du chapitre Recherche d extrema Problèmes liés à la recherche d extrema Développement limité à l ordre Points critiques et extrema Caractérisation des points critiques Hessienne d une fonction Quelques notions d Analyse spectrale Cas de la dimension

7 TABLE DES MATIÈRES 5.4 Exercices du chapitre vii 6 Introduction aux EDP Équations différentielles Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires Un exemple en Physique Équation différentielles linéaires à coefficients constants Équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants Théorème de structure des solutions Équations différentielles homogène du second ordre à coefficients constants Compléments de calcul différentiel Composition des différentielles Exemple détaillé Quelques opérateurs différentiels Changement de coordonnées Repère polaire Changement de variables quelconque Trois méthodes de résolution explicite d EDP Changement de coordonnées Méthode de séparation des variables Exercices du chapitre Transformée de Fourier La transformée de Fourier Définitions Propriétés de la transformée de Fourier Transformée de Fourier inverse Application à la résolution d EDP Exercices du chapitre Calcul d intégrales doubles et triples Calcul intégral dans R Quelques méthodes L intégration par parties

8 viii TABLE DES MATIÈRES Introduction aux intégrales impropres Visualisation graphique de l intégrale Intégrales doubles Intégrale double sur un rectangle Intégrale double sur une partie bornée Propriétés de l intégrale double Changement de variable dans R Changement de variable dans R Exemples d intégrales triples Intégration par piles Coordonnées sphériques Un exemple d application en Physique Exercices du chapitre A Formulaire de trigonométrie 93 B Limites 95 B.1 Limite d une somme B.2 Limite d un produit d une fonction par une constante λ non nulle B.3 Limite d un produit B.4 Limite d un quotient C Dérivées usuelles 97 D Primitives usuelles 99 E Applications linéaires, matrices et déterminant : rappels 101 E.1 Calcul matriciel dans R 2, R 3 et R n E.2 Lien avec les applications linéaires E.3 Calculs de déterminants en dimensions 2 et

9 Chapitre 1 Introduction intuitive à l étude des fonctions de plusieurs variables Ce chapitre a pour vocation d initier la lecteur débutant aux objets que nous manipulerons dans les chapitres qui vont suivre. Les définitions et principes seront présentés ici d un point de vue qualitatif; ils seront revus, améliorés et rigoureusement introduits par la suite. Je ne prétends donc pas à un grand formalisme ni une grande rigueur. Je redonne également quelques notions sur la dérivation des fonctions d une variable car il est nécessaire de bien maîtriser ce concept si l on souhaite comprendre la notion de dérivée partielle. 1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles Exemple mathématique et définition Considérons un rectangle ABCD. On appelle x la longueur AB et y, la longueur BC. On suppose x > 0 et y > 0. A x B y D C On appelle p(x, y), le périmètre de ABCD, A(x, y), l aire de ce rectangle. On a alors : p(x, y) = 2(x + y) et A(x, y) = xy. Définition 1.1. Produit cartésien. Le produit cartésien de deux ensembles E et F, noté E F est l ensemble des couples dont le premier élément appartient à E et le second à F. 1

10 2CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Si E = F, on note E 2 = E E. Cette définition se généralise aisément. Si E 1,..., E n désignent n ensembles. On note E = E 1... E n le produit cartésien défini par : E = {(e 1,..., e n ), tel que e 1 E 1,..., e n E n }. Exemple : on définit par exemple l ensemble N R +. L élément (2, π) appartient à N R +. Remarque : si on considère des ensembles finis (i.e. dont le nombre d éléments de l ensemble est fini), on appelle cardinal de l ensemble, le nombre d éléments de l ensemble. Et, si E et F sont finis, on a : card (E F) = card E card F. Problème courant en Optimisation : on peut être amené à chercher x pour que le périmètre de ABCD soit minimal sachant que son aire vaut 1. (problème d Optimisation) Vocabulaire : A et p sont des fonctions de deux variables à valeurs réelles. x et y sont les deux variables. Il est important de noter que x et y sont indépendantes, autrement dit, il n existe pas d application f : R 2 R telle que f(x, y) = 0. On note : p : R 2 := R R R (x, y) p(x, y) = 2(x + y) et A : R 2 := R R (x, y) R A(x, y) = xy. Ici, cet exemple prend tout son sens si x > 0 et y > 0. On écrira plutôt : p : ( R + ) 2 := R + R + R + (x, y) 2(x + y) Exemple en Physique Il est bien rare que le modèle mathématique choisi par le physicien ne dépende que d un paramètre. En Thermodynamique, par exemple, lorsque l on considère une énergie (énergie interne U, cinétique E c, etc.), on est souvent amené à étudier l influence des paramètres T (température), P (pression) et V (volume). Exemple 1 : loi de Boyle-Mariotte ou loi des gaz parfaits. (1670) PV = nrt. n désigne la quantité de matière contenue dans le volume V, tandis que R désigne la constante des gaz parfaits. Si le volume du système physique varie en même temps que la température, notre étude est justifiée. En général, on recherche l équation d état d un système. (Relation entre les paramètres d état d un système en équilibre macroscopique.) Elle s écrit f(p, V, T) = 0, où f est une fonction des trois variables P, V et T. Dans notre cas, on a : f(p, V, T) = PV nrt. Exemple 2 : équation d état de Van der Waals (Prix nobel de Physique, 1910).

11 1.1. FONCTIONS DE DEUX VARIABLES À VALEURS RÉELLES 3 ( Pour une mole de gaz, on a la relation P + a ) (V b) = RT. Cette relation traduit l existence de forces d interaction entre les molécules de gaz, à la différence de V 2 l équation ( d état des gaz parfaits. La fonction d état s écrit dans ce cas : f(p, V, T) = P + a ) (V b) RT. V 2 Définition 1.2. Soit D, une partie de R 2, c est à dire un ensemble de couples de réels (x, y). On appelle fonction de deux variables définie sur D, le procédé qui consiste à associer à chaque couple (x, y) de D un réel unique. On note généralement : f(x, y) = z. On peut se représenter z comme une «altitude» définie en chaque point du plan de base Représentation graphique d une fonction à deux variables Définition 1.3. Soit f, une fonction de deux variables définie sur un domaine D. L ensemble des points de coordonnées (x, y, z) avec z = f(x, y), pour (x, y) parcourant D est appelé «surface d équation z = f(x, y)». Traduction : pour représenter une fonction de R dans R, on représente les points de coordonnées M(x, f(x)). y f(x) M C O x x Fig. 1.1 Représentation d une fonction de R dans R Pour représenter une fonction de R 2 dans R, on représente les points de coordonnées M(x, y, f(x, y)). Remarque : il arrive souvent que l on note X = (x, y) pour désigner un élément de R 2. On écrira par exemple : f : R 2 R. X = (x, y) xy Exemple : représentation de la surface d équation z = x 2 + y 2. On constate pour la construction graphique que l intersection de la surface d équation z = x 2 + y 2 et du plan d équation z = k, pour k > 0 est un cercle de rayon k. En effet, dans le plan xoy, le cercle de centre Ω(x 0, y 0 ) et de rayon R, décrit par l ensemble des points M de coordonnées (x, y) a pour équation : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2.

12 4CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES z z = f(x,y) M x O y y x Fig. 1.2 Représentation d une fonction de R 2 dans R Le plan d équation z = k, pour k réel, est parallèle au plan xoy. 1.2 Dérivées partielles Rappel : dérivation d une fonction de R dans R Définition 1.4. On dit que f est dérivable en x 0 de nombre dérivé L en x 0 si, et seulement si l un ou l autre des quotients f(x) f(x 0) ou f(x 0 + h) f(x 0 ) admet une limite finie x x 0 h respectivement quand x x 0 et h 0. Dans ce cas, on notera f (x 0 ) cette limite et on a : f f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim. x x0 x x 0 h 0 h Interprétation graphique : Remarque : nous avons préféré ne faire aucun rappel sur la notion de limite dans ce chapitre pour nous concentrer exclusivement sur la notion de nombre dérivé. Dans le chapitre suivant, nous étendrons la notion de limite d une fonction d une variable au cas multidimensionnel. Nous procèderons alors aux rappels nécessaires théoriques. Cependant, pour bien aborder les calculs simples mis en œuvre dans ce chapitre, le lecteur pourra se reporter aux annexes : théorèmes sur les limites et dérivées usuelles Calcul de dérivées partielles La dérivation d une fonction d une variable peut être généralisée. Les dérivées partielles d une fonction de deux variables x et y se calculent de la façon suivante : par rapport à x : on considère que y est constant et on dérive la fonction comme fonction d une variable x.

13 1.2. DÉRIVÉES PARTIELLES y x Fig. 1.3 Représentation de la surface d équation z = x 2 + y 2 f(x 0 + h) y f(x 0 ) C x 0 x 0 + h x pente de cette droite : f(x 0 + h) f(x 0 ) x x 0 Fig. 1.4 Visualisation graphique du nombre dérivé par rapport à y : on considère que x est constant et on dérive par rapport à y. Remarque et notations : la dérivée partielle de f par rapport à x est encore une fonction de deux variables. On la note f. De même, la dérivée partielle d une fonction f x par rapport à y se note f y. Remarque : on entend souvent parler en Physique de la différentielle d une fonction f. On la note df. Nous donnerons ultérieurement un sens à cette notion. On a : df = f f dx + x y dy.

14 6CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Dérivées partielles d ordre supérieur Soit f : R R. Nous savons définir (à la condition qu elles existent...) f, f, f, f (4), etc. Il s agit des dérivées première, seconde, troisième et quatrième de f. Exactement de la même façon, il est aisé de définir : 2 f x 2 = x 2 f y 2 = y 2 f x y = x 2 f y x = y ( ) f : on dérive deux fois par rapport à x; ( x ) f : on dérive deux fois par rapport à y ; ( y ) f : on dérive une fois par rapport à y, puis une fois par rapport à x; ( y ) f : on dérive une fois par rapport à x, puis une fois par rapport à y ; x Exemple : g est la fonction définie sur R 2 par : g(x, y) = x 3 e y. Si x est fixé, y g(x, y) est bien infiniment dérivable sur R par rapport à x (fonction usuelle classique) et si y est fixé, x g(x, y) est encore infiniment dérivable sur R par rapport à x. On a clairement : 2 g y 2(x, y) = x3 e y et g x (x, y) = 3x2 e y, g y (x, y) = x3 e y, 2 g x y (x, y) = 2 g y x (x, y) = 3x2 e y. 2 g x 2(x, y) = 6xey, Remarque : si f désigne une fonction d une variable réelle x supposée dérivable sur son ensemble de définition D, on fait la différence entre la fonction f, appelée fonction dérivée de f, qui à un réel x D, associe le nombre dérivé de f en x, et f (x), qui est un nombre réel (nombre dérivé de f en x). Exactement de la même façon, si f désigne une fonction de deux variables dérivable par rapport à chacune de ses variables x et y sur un ensemble D R 2, on fera la différence entre f, fonction dérivée partielle de f, qui, à x (x, y) D, associe le nombre f (x, y), appelé nombre dérivé de f en (x, y) par rapport à x la première variable, et f (x, y), le nombre dérivé lui-même. x 1.3 Fonction de n variables Fonction de trois variables à valeurs réelles Ce sont les fonctions f : R 3 := R R R R. (x, y, z) f(x, y, z) Exemple : loi de Boyle-Mariotte. f(p, V, T) = PV RT (pour une mole). P, V et T sont bien sûr considérées indépendantes. On définit de même que précédemment : f P, f V et f T. Si (pour l instant), on ne se pose pas la question de la dérivabilité, et si f est une fonction définie sur un ensemble( D ( R 3, )) on définit par exemple : 3 f f x y2(x, y, z) = (x, y, z) : on dérive d abord f deux fois par rapport x y y

15 1.3. FONCTION DE N VARIABLES 7 à y, puis une fois par rapport à x. 3 f z (x, y, z) = ( ( )) f (x, y, z) : on dérive f trois fois par rapport à z. 3 z z z Remarque : si f est une fonction de n variables, on généralise très simplement la méthode de dérivation précédente. Exercice 1 : calculer les dérivées partielles ci-dessus. Exercice 2 : on définit la fonction f par : f(x, y, z) = x 3 y 4 + y 1 z 5. Donner l ensemble de définition de f, puis calculer f x (x, y, z), 2 f x (x, y, z), 2 f (x, y, z) 2 x z 3 f et (x, y, z). x y z Fonctions à valeurs vectorielles Exemple : considérons la fonction f définie par : f(x, y, z) = écrire : f : R 3 R 2 (x, y, z) ( f1 (x, y, z) f 2 (x, y, z) ( ) x + y. On peut encore xyz ), avec f 1(x, y, z) = x + y et f 2 (x, y, z) = xyz. Ainsi, on a en quelque sorte décomposé une fonction de plusieurs variables à valeurs vectorielles en plusieurs fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles. Mise en œuvre pratique du calcul de dérivées partielles : f ( f1 ) (x, y, z) (x, y, z) = x f x 2. ( (x, y, z) x ) 2 f 2 f 1 (x, y, z) x y (x, y, z) = x y 2 f 2. (x, y, z) x y etc. Exercice : Donner l ensemble de définition et de dérivabilité, puis calculer des dérivées partielles premières et secondes des applications φ et ψ respectivement définies sur R 3 et R 2 par : ( ) x 2 x + y φ(x, y, z) = et ψ(x, y) = x y. zx + y x y Généralisation Soient n et p, deux entiers naturels non nuls. On définit l espace R n par l ensemble des éléments s écrivant sous la forme (x 1, x 2,..., x n ), avec x 1 R, x 2 R,..., x n R. R p se définit exactement de la même façon. Si l on souhaite généraliser la notion de fonction de plusieurs variables, on peut noter par f une fonction de U R n dans R p. U est un ensemble contenu dans R n. Dans ce cas, il existe p fonctions de U R n à valeurs dans R

16 8CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES que nous noterons f 1, f 2,..., f p et telles que pour X = (x 1, x 2,..., x n ) U, on ait : f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) f 2 (x 1, x 2,..., x n ). f p (x 1, x 2,..., x n ) Notations. Les différentes variables se notent traditionnellement de la façon suivante : Dans R : x. Dans R 2 : (x, y). Dans R 3 : (x, y, z). Dans R 4 : (x 1, x 2, x 3, x 4 ). Dans R n, pour n 4 : (x 1,..., x n ).. Remarque : soit f, une fonction de plusieurs variables : f : O R n R p, où O désigne un ensemble inclus dans R n. Si p = 1, f s appelle fonction numérique de n variables réelles. Si p > 1, f s appelle fonction vectorielle de n variables réelles.

17 1.4. EXERCICES DU CHAPITRE Exercices du chapitre Exercice 1.1 : On rappelle la loi de Boyle Mariotte, valable pour une mole de gaz parfait : PV = RT, où P désigne la pression du gaz, V son volume, R la constante des gaz parfaits et T la température du milieu. 1. Calculer P P et T V. 2. Même question si l on considère à présent la relation de Van der Waals, avec les mêmes conventions que précédemment, et avec a et b réels : ( P + a V 2 ) (V b) = RT. Exercice 1.2 : On considère la fonction définie pour tous (x, y) R 2 par : f(x, y) = x 2 + 2x + y 2 + 4y Montrer que : (x, y) 0, f(x, y) 0. Démontrer qu il existe un point qui minimise f(x, y). 2. Calculer f f (x, y), x y (x, y), 2 f x (x, y), 2 f 2 y (x, y) 2 f 2 x y (x, y) et 2 f (x, y). y x Exercice 1.3 : On pose : f(x, y) = x + y x + y. 1. Déterminer l ensemble de définition D de f. 2. Montrer que (x, y) D, f(x, y) x + y. 3. En déduire lim f(x, y). (x,y) (0,0) 4. Calculer f f (x, y) et (x, y). x y Exercice 1.4 : On considère la fonction f définie sur R 2 par : f(x, y) = x6 + y 5 si (x, y) (0, 0) x 4 + y 4 f(0, 0) = 0 En utilisant le même type de raisonnement que dans l exercice précédent, prouver que f(x, y) = 0, i.e. que f est continue sur R 2. lim (x,y) 0 Exercice 1.5 : En se souvenant de la méthode utilisée pour tracer un paraboloïde de révolution, esquisser dans un repère (O; i, j, k) la surface d équation : z = x 2 +2x+y 2 2y. Exercice 1.6 : On considère la fonction f définie par : f(x, y) = x 2 + 5y 2 4xy + 6y Calculer f f (x, y), x y (x, y), 2 f x (x, y), 2 f 2 y (x, y), 2 f 2 x y (x, y) et 2 f (x, y). y x

18 10CHAPITRE 1. INTRODUCTION À L ÉTUDE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 2. Montrer que : (x, y) R 2, f(x, y) 1 0. Démontrer qu il existe un point qui minimise f(x, y). 3. On désigne par f(x, y) le vecteur de coordonnées respectives f f (x, y) et (x, y), x y pour (x, y) R 2. Résoudre l équation f = 0. Exercice 1.7 : On appelle f la fonction définie par : ( x f(x, y, z) = 3 + zy y 2 + xz ). 1. Calculer f x (x, y), 2 f z (x, y), 2 f 2 y z (x, y), 3 f z y2(x, y). 2. Calculer lim (x,y,z) O f(x, y, z). Exercice 1.8 : On appelle f, la fonction définie sur R 2 par : f(x, y) = 9 2 y2 + 4y + xy 9 2 x2 + 4x Démontrer que, pour tous (x, y) R 2, on a l inégalité : xy 1 2 (x2 + y 2 ). 2. Démontrer que, pour tous (x, y) R 2, on a l inégalité : f(x, y) 0. En déduire une conséquence graphique pour la surface d équation z = f(x, y). 3. Déterminer un plan de symétrie pour la surface d équation z = f(x, y). 4. Calculer pour tous (x, y) R 2, Que remarque-t-on? 2 f x y (x, y) et 2 f (x, y). y x

19 Chapitre 2 Calculs de limites et continuité des fonctions de plusieurs variables 2.1 Technique de recherche de limites Cas réel Dire que lim f(x) = b, avec a et b réels, revient à dire que lim f(x) b = 0. Graphiquement, cela signifie que lorsque l on s approche de a (x a), la courbe de f se rapproche x a x a de la droite d équation y = b. x = α y y = β C f(a) O a x Fig. 2.1 Exemple à méditer On a : lim f(x) = β, lim f(x) = f(a), lim f(x) =, lim f(x) = +, lim f(x) = x + x a x α x α + x 0. 11

20 12 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ Vraie définition de la limite : on suppose a et b réels. lim f(x) = b ( ε > 0, η > 0 / x a η = f(x) b ε). x a En pratique, on utilise peu cette définition Formes indéterminées Il est bien important de connaître les formes indéterminées. En effet, il s agit de cas un peu litigieux pour lesquels on ne peut rien affirmer a priori. On est donc contraint d utiliser d autres techniques. Formes indéterminées :, 0, ( ) + (+ ), 0 0. Pour les autres cas, on se reportera au tableau fourni en annexe. Quelques exemples très simples : on écrira à chaque fois les limites sous réserve que celles-ci existent... ( x ) ( x ( π ( x ) 1. lim tan. x tan est définie sur [0, 2π[ et tan = 1, donc lim tan = x π 4 4) 4) x π 4 1. (Nous y reviendrons plus tard.) 2. lim x 0 sin x x. On a une forme indéterminée du type lim x + (x2 x). On a une forme indéterminée du type (+ ) + ( ) Techniques pour lever les indéterminations Fonctions polynôme ou rationnelle Théorème 2.1. La limite d une fonction polynôme en ± est la limite du terme de plus haut degré. Exemple : lim x + (x2 x) = lim x + x2 = +. Rappelons de plus qu une fonction rationnelle se définit comme un quotient de fonctions polynômes. Théorème 2.2. La limite d une fonction rationnelle en ± est la limite du quotient des termes de plus haut degré. Par exemple lim x + x 2 + 3x 4 2x 2 + 4x + 4 = lim x + x 2 2x 2 = 1 2. En pratique, on étudie rarement la limite en ± d une fonction de plusieurs variables, mais nous étudierons ultérieurement des applications de ces théorèmes dans le cas multidimensionnel.

21 2.1. TECHNIQUE DE RECHERCHE DE LIMITES Technique du nombre dérivé On rappelle que si f est une fonction dérivable en a, alors f f(x) f(a) (a) = lim. x a x a f(x) f(0) Exemple : posons f(x) = sin x. Alors : = sin x sin x, puis x 0 x x x 0 (sin) (0) = cos 0 = 1. Exercice : calculer lim x 0 tan x x. Application importante : on définit sur R 2 \{(x, x), x R} la fonction f par : sin(x + y) f(x, y) =. x + y Posons u = x + y. u 0, et d après le calcul précédent f(x, y) 1. (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) Cette technique peut être étendue et généralisée. C est le principe des développements limités Développements limités Il existe une autre caractérisation de la dérivabilité. Théorème 2.3. f est dérivable en a de nombre dérivé f (a) si, et seulement s il existe une fonction ε telle que pour tout h tel que a + h soit élément de l ensemble de définition de f, on ait : f(a + h) = f(a) + hf (a) + hε(h), avec lim h 0 ε(h) = 0. C est ce que l on appelle une approximation du premier ordre de f en a. La condition (nécessaire et suffisante) pour que l on puisse trouver une approximation du premier ordre d une fonction f en un point a est que la fonction f soit dérivable en a. Cela traduit le fait que l on peut approximer localement, c est à dire dans un voisinage de a, f(a + h) par f(a) + hf (a) avec une imprécision de hε(h). Remarque 1 : si l on procède à un changement de variable, en posant x = a + h, on a que f est dérivable en a si, et seulement s il existe une fonction ε telle que : f(x) = f(a) + (x a)f (a) + (x a)ε(x a), avec lim x a ε(x a) = 0. On reconnaît bien sûr l équation de la tangente à la courbe de f en a : y = f(a) + (x a)f (a), dans les premiers termes du développement. Remarque 2 : voisinage d un point ou égalité locale. Le développement d une fonction au premier ordre est une égalité locale. C est-à dire que l on peut considérer (définition de limite) que si l on est suffisamment proche de a, l approximation : f(a + h) f(a) + hf (a) a lieu. Mathématiquement, cela s écrit : si ɛ > 0 est fixé, on peut trouver η > 0 tel que : h < η, (c est-à dire a + h ]a η, a + η[) implique : f(a + h) f(a) hf (a) < ɛ. Exemples :

22 14 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ ln(1 + x) = x + xε(x), où lim ε(x) = 0 et (ln(1 + x)) = 1 x x. e x = 1 + x + xε(x), où lim ε(x) = 0. x 0 1 = 1 + x + xε(x), où lim ε(x) = 0. 1 x x 0 Remarque : notations de Landau. f(x) On écrit f = o (g) lorsque lim = 0. Lorsque nous écrirons les développements x a x a g(x) limités d une fonction f en x 0 nous écrirons régulièrement o x a (xn ) où n sera un entier. Cette notation correspond à précisément à x n ε(x) où lim ε(x) = 0. x a Pour nous fixer les idées, réécrivons les identités précédentes à l aide des notations de Landau : ln(1 + x) = x + o (x). x 0 e x = 1 + x + o (x). x x = 1 + x + o (x). x 0 Remarque : dans le cas d une approximation quand x 0, on verra souvent o(x) au lieu de o x 0 (x). Définition 2.1. L écriture, lorsque f est dérivable en a : f(x) = f(a) + (x a)f (a) + o (x a), x a s appelle développement limité de f en a à l ordre 1. Parfois, on a besoin d une précision supplémentaire. On utilise les théorèmes suivants qui nécessitent la notion de continuité. Pour le moment, on se contentera d admettre que la fonction est continue. Par la suite, on définira précisément la notion de continuité. Théorème 2.4. Si f est une fonction deux fois dérivable en a telle que f est continue en a, alors : f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (x a)2 (a) + o (x a). 2 x a Plus généralement, on peut utiliser la formule de Taylor-Young : Théorème 2.5. Si f est une fonction n fois dérivable en a telle que f (n) est continue en a, alors : f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (x a)2 (a) 2! = n k=0 f (k) (x a)k (a) k! + o x a (x a)n. + f (x a)3 (a) f (n) (x a)n (a) + o (x a)n 3! n! x a Remarque : on rappelle que n! = n (n 1) (n 2) et 0! = 1. On peut former les développements limités à l ordre 2 des fonctions usuelles que l on sait deux fois dérivables, à dérivée seconde continue :

23 2.1. TECHNIQUE DE RECHERCHE DE LIMITES 15 e x = 1 + x + x2 + 2 o(x2 ); cosx = x2 + 2 o(x2 ); sin x = x + o(x 2 ); 1 = 1 x + 1+x x2 + o(x 2 ); 1 = 1 + x + 1 x x2 + o(x 2 ); tan x = x + o(x 2 ); (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x 2 + o(x 2 ); x = 1 + x x o(x2 ); ln(1 + x) = x x2 + 2 o(x2 ); Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et admettre cependant un développement limité Formule de Taylor-Lagrange Bien que nos études concernent des fonctions de plusieurs variables, il nous sera souvent utile de recourir à des résultats d Analyse à une variable. Les exercices traités en témoigneront. Les théorèmes suivants explicitent les formules de Taylor-Lagrange à différents ordres. Ils permettent d encadrer l erreur d approximation des fonctions d une variable par leur développement limité. Le premier théorème a probablement déjà été étudié sous le nom d inégalité des accroissements finis : Théorème 2.6. Soit f, une fonction une fois dérivable sur un intervalle I R. Alors, pour toux a et b réels de I, et si la dérivée de f est bornée par un réel M (c est à dire si pour tout x de I on a f (x) M, on a l inégalité : f(b) f(a) M b a. Exemple : la fonction x tan x a pour dérivée la fonction x 1 + tan 2 x, qui est minorée si x [ 0, 2[ π par le réel 1. En utilisant l inégalité des accroissements finis, on en déduit que : x [0, π [ 2 [, tan x tan 0 x 0 x 0, π [, tan x x. 2 Théorème 2.7. Soit f, une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I R. Alors, pour tous a et b réels de I, et si la dérivée seconde de f est bornée par un réel M (c est-à dire si pour tout x de I on a f (x) M), on a l inégalité : f(b) (f(a) + (b a)f (a)) M b a 2. 2 Théorème 2.8. Soit f, une fonction trois fois dérivable sur un intervalle I R. Alors, pour tous a et b réels de I, et si la dérivée troisième de f est bornée par un réel M (c est à dire si pour tout x de I on a f (x) M), on a l inégalité : ( f(b) f(a) + (b a)f (a) + ) (b a)2 f (a) 2 M b a 3. 6

24 16 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ Exemple : on appelle I l intervalle [0, π ]. Posons f(x) = sin x. La fonction sinus est 2 infiniment dérivable sur I et toutes ses dérivées sont continues (fonction usuelle). On en déduit (les dérivées premières et secondes étant majorées en valeur absolue par 1) que, puisque (sin) (0) = cos 0 = 1 et (cosx) (x) = sin x sup sin x = 1, on a : x I x I, f(x) (f(0) + xf (0)) (x 0)2 2! sup f (x) x I, sinx x x2 x I Continuité des fonctions de plusieurs variables Cas réel y C a x Fig. 2.2 Exemple de fonction discontinue en a Par définition, f est continue en a si, et seulement si lim x a f(x) = f(a). Dans l exemple ci-dessus, f n est pas continue en a. En revanche, f semble continue partout ailleurs Cas des fonctions de R 2 dans R Définition 2.2. Soit f, une fonction définie sur une partie A R 2 et A = (a 1, a 2 ), un point de A. Alors, f est dite continue en A si lim f(x) = f(a). x A x A Remarque : X = (x, y). X a signifie x a 1 et y a 2. Définition 2.3. f est dite continue sur A si, et seulement si f est continue en tout point de A. En pratique, pour démontrer qu une fonction est continue, on sera amené à utiliser une des méthodes décrites précédemment. Nous ferons à la fin du chapitre un récapitulatif des méthodes à utiliser si l on souhaite démontrer qu une fonction est continue. Le théorème qui suit porte le nom de théorème d encadrement ou théorème des gendarmes. Vous en avez déjà probablement étudié une version pour des fonctions d une variable. Ce théorème permet de généraliser ce résultat aux fonctions de plusieurs variables.

25 2.2. CONTIUITÉ DES FONCTIONS 17 Théorème 2.9. Soit f, une fonction de R 2 à valeurs dans R et α R 2. On pose X = (x 1, x 2 ) et A = (a 1, a 2 ). S il existe une fonction g telle que lim X A g(x) = 0 et f(x) α g(x), alors : lim (f(x) α) = 0, c est-à dire : lim f(x) = α. X A X A Exemple : soit f définie sur D := R 2 \{(0, 0)} par : f(x, y) = x3 + y 3 x + y. (x, y) D, f(x, y) x 3 x 2 + y 2 + y 3 x 2 + y 2 x 3 x + y 3 y x + y 0 (limite (x,y) (0,0) d une somme continue...). Par conséquent, on en déduit que f(x, y) = 0. lim (x,y) (0,0) Cette étude nous fournit des informations sur la continuité de f. D après les règles élémentaires sur les limites, il est clair que pour tout couple (x 0, y 0 ) de R 2 tel que (x 0, y 0 ) (0, 0), on a : f(x, y) f(x 0, y 0 ). Le cas le plus problématique est celui du voisinage de (0, 0). En effet, souvenons-nous par exemple de la fonction (x,y) (x 0,y 0 ) g : x sin x sin x, non définie en 0 à priori, mais telle que : lim = 1. C est le principe x x 0 x du prolongement par continuité. Il suffit de définir une fonction que nous nommerons g par g(x) := g(x) si x 0 et g(0) = 1. Alors g est une fonction continue. Ce principe s applique encore pour f. Ainsi, appelons f la fonction définie par : f(x, y) = { f(x, y) si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0). f est une fonction continue sur R 2. Plus précisément f est le prolongement par continuité de la fonction f. Ce résultat peut être généralisé. C est l objet du théorème qui suit : Théorème Soit f une fonction de deux variables définie sur une partie Ω = Ω\{X 0 } de R 2, où X 0 = (x 0, y 0 ) est un élément de Ω. Supposons que f soit continue sur Ω et que l on ait : lim f(x, y) = l R. (x,y) X 0 Alors la fonction f définie par : f(x, y) = { f(x, y) si (x, y) Ω l si (x, y) = X 0 = (x 0, y 0 ) est une fonction continue. C est le prolongement par continuité de la fonction f en X 0. Remarque : tous les résultats que nous venons d obtenir peuvent être généralisés très facilement aux fonctions de R n dans R, puis aux fonctions de R n dans R p. Nous étudierons de nombreux exemples en exercices Techniques générales Ce paragraphe a pour objet de répondre à la question suivante : comment étudier la limite d une fonction de plusieurs variables? Nous donnerons une méthode globale en fin

26 18 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ de paragraphe, mais avant, étudions le cas particulier d une fonction n admettant pas de limite en un point. Comment ce comportement va-t-il se caractériser? On se souvient qu une fonction de R dans R peut présenter des points de discontinuité. C est l exemple du graphe proposé en début de section. Pour une fonction de R 2 dans R, il est possible qu elle admette une discontinuité, uniquement selon une direction. En clair, il est beaucoup plus difficile de converger dans R 2 que dans R. Comparons les cas de discontinuité : Si f est une fonction de R dans R, on dira que f n est pas continue en x 0 lorsque lim f(x) f(x x x 0 ) ou lorsque 0 x x0 lim f(x) f(x 0 ) ou encore si cette limite n existe même x<x 0 x>x 0 pas. Autrement dit, il existe deux cas de figure pour une fonction de R dans R discontinue en un point. En revanche si f est une fonction de R 2 dans R discontinue en x 0 R 2, il existe une infinité de façons de parvenir en x 0. Si x 0 = (0, 0) par exemple, on peut arriver en (0, 0) selon les axes (0x) et (Oy) (4 façons d arriver), selon la première bissectrice (2 autres façons), selon la droite d équation y = x (2 autres façons) ou plus généralement selon n importe quelle courbe continue de R 2 passant par l origine. Cette situation est illustrée par le schéma qui suit. y x Fig. 2.3 Différentes façons de converger vers (0,0) dans R 2 Pour démontrer qu une fonction f de deux variables est discontinue en x 0 R 2, il faut exhiber deux directions particulières afin de trouver deux limites différentes selon ces directions, ou encore, de parvenir à faire diverger la fonction selon une direction. Remarque : lorsque l on fait converger une fonction selon une direction particulière, on ne peut avoir aucune garantie que la valeur trouvée en passant à la limite est la limite de la fonction. En effet, il faut d abord savoir si la fonction converge. Notion d arc paramétré : un arc paramétré permet de représenter des courbes dans le plan ou l espace. On utilise un paramètre t. La courbe est donnée par les points M(t) de coordonnées (x(t), y(t)), où x et y sont deux fonctions de t et par un intervalle I, tel que t I. En général, dans le cadre de ce cours x(t) et y(t) désigneront souvent des fonctions polynômes. L idée est que l on doit pouvoir faire converger (x(t), y(t)) vers le point de discontinuité lorsque t tend vers une certaine valeur, en général 0.

27 2.2. CONTIUITÉ DES FONCTIONS 19 De nombreux exemples seront fournis en exercice. Exemple : on définit sur R 2 \{(0, 0)} par f(x, y) = x + y2 y + x2. On peut montrer que f est discontinue en (0, 0). { { x1 (t) = 0 On utilise les arcs paramétrés :, avec t R y 1 (t) = t x2 (t) = t et y 2 (t) = t, avec t R +. On a : f(x 1 (t), y 1 (t)) = t 0 et f(x 2 (t), y 2 (t)) = t + t2 t 0 t + t = 1 1, car t > 0. 2 t 0 + On obtient deux limites différentes. Par conséquent, f est discontinue en (0, 0). Recapitulons : si f est une fonction de deux variables et si l on souhaite étudier l éventuelle limite de f(x, y) quand (x, y) (x 0, y 0 ), plusieurs cas peuvent se présenter : si f est discontiue en (x 0, y 0 ) : il s agit de trouver les bons arcs paramétrés qui permettront, comme expliqué ci-dessus de prouver que selon deux directions différentes, f admet deux limites différentes. si f est continue en (x 0, y 0 ) : on prouve qu il y a convergence à l aide d un développement limité ou d un encadrement. On donne un dernier exemple d utilisation des développements limités. Exemple : on définit la fonction f sur R 2 x(sin y y) \{(0, 0)} par : f(x, y) =. x 2 + y 2 On sait que sin y y = o y 0 (y2 ), donc il existe une fonction ε telle que : y R, sin y y = (x,y) (0,0) y 2 ε(y), avec ε(y) 0, donc f(x, y) = xy2 ε(y) y 0 x 2 + y et puisque (x, y) 2 R2, xy 1 2 (x2 +y 2 ), on a : (x, y) R 2 \{(0, 0)}, f(x, y) y ε(y) 0, donc f est prolon- 2 geable par continuité en (0, 0), et f est clairement continue partout ailleurs. En effet : a(sin b b) lim f(x, y) = = f(a, b), pour (a, b) (0, 0). (x,y) (a,b) a 2 + b 2

28 20 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ 2.3 Exercices du chapitre Exercice 2.1 : Déterminer un développement limité en 0, à l ordre 2 des fonctions suivantes : 1. f : x 1 2 (ex + e x ); 2. g : x 1 2 (ex e x ); 3. h : x 1 1 x ; Exercice 2.2 : 1. Soit f, une fonction dérivable en un point a. Calculer, en utilisant deux méthodes différentes : lim h 0 f(a + h) f(a h). h 2. Soit f, une fonction deux fois dérivable en un point a. Calculer : f(a + h) + f(a h) 2f(a) lim. h 0 h 2 Exercice 2.3 : On considère la fonction f définie par : f(x) = x3 y 3 x y. 1. Déterminer l ensemble de définition D de f. 2. Montrer que f est prolongeable par continuité. Exercice 2.4 : 1. Démontrer que pour tous x et y réels, on a l inégalité : xy x2 2 + y On pose pour tous (x, y) R 2 : f(x, y) = xy x2 2 y2 2. (a) Déduire de la question 1. une conséquence graphique pour la surface d équation z = f(x, y). (b) Démontrer que la surface d équation z = f(x, y) admet un plan de symétrie que l on précisera. 3. Calculer f f (x, y) pour x > 0 et x < 0, puis montrer que la fonction est discontinue. x x Exercice 2.5 : On considère la fonction f définie par : f(x, y) = 1. Déterminer l ensemble de définition de f noté D f. 1 cos(x y). x y 2. Déterminer les expressions des dérivées partielles de f, ainsi que leurs intervalles de définitions.. 3. On va chercher lim f(x, y) par plusieurs méthodes. (x,y) (1,1)

29 2.3. EXERCICES DU CHAPITRE 21 (a) En utilisant un développement limité. (b) En utilisant un encadrement. (c) En utilisant la définition du nombre dérivé. 4. f est-elle prolongeable par continuité au point (1, 1)? Exercice 2.6 : On souhaite montrer que la fonction f définie par f(x, y) = xy x + y n admet pas de limite en O, de coordonnées (0, 0). Utiliser deux arcs paramétrés que l on représentera pour faire converger f vers deux nombres différents, puis conclure. Exercice 2.7 : Étudier la continuité de la fonction f définie sur R 2 par : x 2 y 2 si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 4 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0) Exercice 2.8 : La fonction f : (x, y, z) x3 yz x + y + z a-t-elle une limite en 0? Exercice 2.9 : La fonction f définie sur R 2 {(0, 0)} par : f(x, y) = peut-elle être prolongée par continuité en (0, 0)? Exercice 2.10 : On appelle f, la fonction définie par : f : R 2 \{(0, 0)} R (x, y) x4 + y 2 x 2 + y 2. ln(1 + x)(sin y y) x 2 + y 2 En utilisant des arcs paramétrés que l on prendra soin de représenter, montrer que f n admet pas de limite en (0, 0). Exercice 2.11 : On définit la fonction f par : f(x, y) = x x 2 + y 2 + 2x 4y + 4. On appelle Υ sa surface représentative dans l espace. Les questions de ce problème peuvent être traitées de façon complètement indépendante. 1. Quel est l ensemble de définition de f? On le notera D f. Représenter graphiquement cet ensemble dans le plan. 2. Résoudre l équation f(x, y) = 0 et donner une interprétation graphique du résultat. 3. Exprimer f(x, y) sans utiliser la notation valeur absolue. 4. Calculer, pour tous (x, y) de D f, f (x, y). x 5. Soit t, un nombre réel différent de 2. Étudier la continuité de f au point de coordonnées (0, t). x

30 22 CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉ 6. On s intéresse dans cette question à la courbe Γ située à l intersection de la surface représentative de f et du plan d équation y = 3. On appelle g la fonction de courbe représentative Γ. (a) Quel est l ensemble de définition de g? On le note D g. (b) Déterminer l expression de g(x) en fonction de x. (c) Étudier rapidement les variations de g. (d) Pour quels x de D g, a-t-on : g(x) x 4? 7. On appelle h, la fonction de R sur R 2 définie par h(x, y) = x de surface représentative Π. 4 Montrer que Π est la réunion de deux demi-plans, et sans prétendre à la précision, représenter l allure de Π dans un repère orthonormé de l espace. 8. Pour quels (x, y), éléments de D f, a-t-on : f(x, y) x 4? En déduire une conséquence graphique. Exercice 2.12 : x 2 y 5 1. Calculer la limite suivante : lim (x,y) (0,0) x 4 + x 2 y 2 + y Calculer lim x 1 ln x. En déduire : x 2 1 lim (x,y) (1,0) ln(x + y) x 2 + 2xy + y 2 1.

31 Chapitre 3 Notion de différentiabilité Ce chapitre est important car il généralise la notion de dérivation dans le cas multidimensionnel. 3.1 Applications linéaires Soit E, un R-espace vectoriel. Définition 3.1. Soient E et F, deux espaces vectoriels. Une application f de E dans F est dite linéaire si : (i) (x, y) E 2, f(x + y) = f(x) + f(y); (ii) a R, x E, f(ax) = af(x). Remarque : les deux égalités précédentes équivalent à l unique égalité : (α, β) R 2, (x, y) E 2, f(αx + βy) = αf(x) + βf(y). Exemple : f : R 2 R est linéaire. En effet, f(αx +βy ) = αf(x)+βf(y ) (x, y) x + y où X = (x 1, x 2 ) et Y = (y 1, y 2 ). (à vérifier en exercice) Vocabulaire : une application linéaire de E dans E bijective s appelle un automorphisme. Remarque : on note L(E, F) l ensemble des applications linéaires de E dans F. 3.2 Calcul différentiel Dérivée selon un vecteur Définition 3.2. Soit f : R 2 R. On dit que f admet une dérivée première en a R 2 suivant le vecteur v = (v 1, v 2 ) si, et seulement si ϕ v : t f(a + t v) est dérivable en 0. Si c est le cas, on appelle dérivée de f en a suivant v et on note D v f(a) l élément ϕ v (0) 23

32 24 CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ et on a : D v f(a) = lim t 0 ( f(a + t v) f(a) Exemple : on appelle f la fonction définie par : f(x, y) = xy. Calculons la dérivée de f en (0, 0) suivant le vecteur v = (1, 1). On a : ϕ v (t) = f(a+t v) = t 2, donc D v f(a) = lim t 0 t 2 t = 0. Propriété 3.1. Les dérivées d une fonction f : R 2 R suivant les vecteurs i = (1, 0) et j = (0, 1), si elles existent, correspondent aux dérivées partielles de f respectivement par rapport à x et y. f On a ainsi : D if(x, y) = x (x, y) et D f j f(x, y) = (x, y). y Remarque importante : l existence de dérivées partielles d une fonction f en un point n implique pas la continuité de f en ce point. Exemple : on appelle f la fonction définie sur D = R 2 \{(0, 0)} par : f(x, y) = Existence de dérivée partielle selon x : calculons pour x 0 t ). xy x 2 + y 2. f(x, 0) f(0, 0) x 0 0 x = 0 0. Par conséquent, f admet en (0, 0) une dérivée partielle selon x. x 0 Existence de dérivée partielle selon y : calculons pour y 0 f(0, y) f(0, 0) y 0 0 y = 0 0. Par conséquent, f admet en (0, 0) une dérivée partielle selon y. x 0 Discontinuité de f : on va utiliser des chemins paramétrés. Calculons pour t 0, f(t, t) = t 0 2 et f(t, t 3 t2 ) = t 2 + t = t t 0, ce qui prouve que f est 2 t 0 discontinue en (0, 0). = = Fonctions f : R n R p Si f est par exemple une fonction de R 2 dans R 3, on peut écrire : f : R 2 R 3 (x, y) (f 1 (x, y), f 2 (x, y), f 3 (x, y)), où f 1, f 2 et f 3 sont des fonctions de R 2 dans R. On a alors, si a R 2 et v = (v 1, v 2 ) est un vecteur de R 2 : D v f(a) = (D v f 1 (a), D v f 2 (a), D v f 3 (a)). Exemple : on définit la fonction f sur R 2 à valeurs dans R par : ( ) x f(x, y) = 2 y ye x On appelle u le vecteur de coordonnées (1, 0) et a le point de coordonnées (x, y). On montre aisément que : ( ) 2xy D u f(a) = ye x.

33 3.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL Application différentielle Définition 3.3. Classes C 0 et C 1. (i) On dit qu une fonction f : U R 2 R est de classe C 0 sur son ensemble de définition U, ou encore que f C 0 (U) si, et seulement si f est continue sur U. (ii) On dit qu une fonction f : U R 2 R est de classe C 1 sur son ensemble de définition U, ou encore que f C 1 (U) si, et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. f admet des dérivées partielles premières en tout point de U. 2. f x et f y sont continues sur U. Exemple : f définie par f(x, y) = xy est clairement de classe C 1 (R 2 ). En effet, f (x, y) = x y et f f (x, y) = x. Par conséquent, y x et f y sont continues. Remarque : généralisation assez simple. Si n N et f : R n R, on dit que f est de classe C 1 si, et seulement si f admet des dérivées partielles f f f,,..., continues sur U. x 1 x 2 x n Propriété 3.2. Soit U, un ensemble inclus dans R 2. C 1 (U) C 0 (U). Traduction : si f C 1 (U), alors f est continue sur U. cette propriété est vérifiée pour tout n N, sur U R n. On peut encore aisément définir la notion de classe C k, avec k 1. Définition 3.4. On dit qu une fonction f : U R n R est de classe C k sur son ensemble de définition U, ou encore que f C k (U) si, et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. f admet des dérivées partielles successives sur U jusqu à l ordre k inclus. 2. Les dérivées partielles successives de f sont continues sur U. Remarque : classe C. On dit que f est de classe C sur U si, et seulement si f admet des dérivées partielles successives sur U à tout ordre et si ces dérivées successives sont continues sur U. Propriété 3.3. Soit U, un ensemble inclus dans R n et soir k 1. C k (U) C k 1 (U)... C 1 (U) C 0 (U). Le théorème suivant est célèbre. Il permet d intervertir, sous certaines conditions, d intervertir les symboles de dérivation. Théorème 3.1. Théorème de Schwarz. Si f est une fonction de R 2 dans R, de classe C 2 sur un ouvert U, en tout point de U, on a : 2 f x y = 2 f y x.

34 26 CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ Un exemple célèbre : lorsque les dérivées partielles secondes ne sont pas continues. On appelle f la fonction définie sur R 2 par : f(x, y) = xy(x2 y 2 ), si (x, y) (0, 0). x 2 + y 2 f(0, 0) = 0 f(x, y) f(0, y) y(x 2 y 2 ) 1. Si y 0, lim = lim = y, donc f (0, y) = y ; x 0 x x 0 x 2 + y 2 x f(x, 0) f(0, 0) lim = 0, donc f (0, 0) = 0. x 0 x x D où 2 f f f (0, y) (0, 0) x x (0, 0) = lim = 1. y x y 0 y f(x, y) f(x, 0) x(x 2 y 2 ) 2. Si x 0, lim = lim y 0 y y 0 x 2 + y 2 f(0, y) f(0, 0) lim = 0, donc f (0, 0) = 0. y 0 y y D où 2 f f f (x, 0) (0, 0) y y (0, 0) = lim = 1. x y x 0 x = x, donc f (x, 0) = x; x 2 f Ainsi, y x et 2 f ne prennent pas la même valeur en (0, 0). Par conséquent, ces deux x y fonctions ne sont pas continues en ce point. (On peut encore le vérifier en calculant explicitement ces dérivées.) Nous avons défini tous les outils nécessaires pour introduire la notion de différentiabilité d une fonction de plusieurs variables. Définition 3.5. Soit f : U R 2 R et U, l ensemble des vecteurs de U. On dit que f est différentiable en a s il existe une application linéaire d a f définie sur U, telle que : f(a + h) f(a) d a f(h) lim = 0. h 0 h d a f s appelle la différentielle de f en a et on a : d a f L( U, E), avec E R Développement limité Théorème 3.2. f est différentiable en a si, et seulement si il existe r > 0 tel que si h < r, alors f(a + h) = f(a) + d a f(h) + o ( h ) h 0, où o ( h ) = h ε(h), où ε(h) 0. h 0 h 0 On dit alors que f admet un développement limité à l ordre 1 en a. Propriété 3.4. Si f est de classe C 1 (U) et si a U, alors f admet un développement limité à l ordre 1 en a, autrement dit, f est différentiable en a.

35 3.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL 27 Remarque importante : lorsque l on écrit : f(a + h) = f(a) + d a f(h) + o ( h ), il h 0 faut bien garder à l esprit que d a f, lorsque a U est donné, est une application linéaire de la variable h U (ensemble des vecteurs de U). Une question d ordre pratique se pose : comment calculer la différentielle d une fonction en un point? Il faut utiliser une propriété de la différentielle. Propriété 3.5. Soit f, une aplication différentiable en un point a de R 2. On appelle ϕ a, la fonction définie pour u vecteur de R 2 fixé par : On a alors : lim t 0 ϕ a (t) = df a ( u). ϕ a : R t R f(a + t u) f(a). t Démonstration : elle sera faite en travaux dirigés. Remarque : la fonction ϕ a introduite dans la propriété précédente, sous réserve d existence, bien-sûr, porte le nom de différentielle de Gâteaux au point a. Attention! Une fonction différentiable est bien différentiable au sens de Gâteaux, mais la réciproque est ARCHI fausse. Exemple : on appelle f la fonction définie sur R 2 par : f(x, y) = xy. f est de classe C 1 sur R 2 comme produit de fonctions d une variable de classe C 1, donc f est différentiable en tout point de R 2. On va calculer d a f( u), où a = (1, 1) et on pose u = (x, y). f(a + t u) f(a) (1 + tx)(1 + ty) 1 Ainsi, = t t Par conséquent, d a f(x, y) = x + y. Exercice : vérifier que d a f définie par : est une fonction linéaire. d a f : R 2 R (x, y) x + y =... = x + y + txy t 0 x + y Expression explicite de la différentielle Théorème 3.3. Soit f : U R 2 R. Si f est différentiable en un point a U, on a : d a f : R 2 R (x, y) x f (x, y) + y f (x, y). x y Exercice : s amuser à retrouver la différentielle de (x, y) xy en a = (1, 1).

36 28 CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ Avant de continuer, récapitulons les différentes propriétés énoncées sur la différentielle : on peut écrire que si f : U R 2 R est différentiable en a, alors, on a : a = (a 1, a 2 ) U et quel que soit h, vecteur de R 2, h = (h 1, h 2 ), on a : f f(a + h) = f(a) + h 1 x (a) + h f 2 y (a) + o ( h ). h 0 Vocabulaire : d a f s appelle également application linéaire tangente de f en a. Définition 3.6. E désignant un espace vectoriel, on appelle forme linéaire toute application linéaire de E à valeurs dans R. Appelons dx et dy les formes linéaires «projection sur les axes» définies de la façon suivante : dx : R 2 R, et dy : R 2 R (x, y) x (x, y) y. (dx, dy) s appelle la base duale de E. On peut ainsi écrire que, h = (x, y) E : d a f(h) = f f (a)dx(h) + x y dy(h). On détaillera la notion de base duale dans le chapitre?? consacré à l étude des formes différentielles Méthode générale de calcul Pour conclure, proposons deux exemples d étude de différentiabilité et régularité. On note F et G les deux fonctions définies toutes deux pour X = (x 1,..., x n ) R n par : F(X) = N 2 (X) et G(X) = N 2 2(X). N 2 désigne bien sûr la norme euclidienne, c est à dire que, si X R n, G(X) = x x 2 n et F(X) = G(X). Si X (R ) n, on a trivialement : G(X) N 2 (X) = N 2(X) 0. X 0 Il est bien évident ici que. = N 2 (.). D après la définition énoncée dans ce chapitre, G est différentiable en O = (0,..., 0). Il suffit pour s en apercevoir, de vérifier que la définition 3.5 est vérifiée, pour a = O et X = h. Il s ensuit que d a G est l application linéaire identiquement nulle. Intuitivement, il y a peu de chance que la norme euclidienne de R n (fonction F) soit différentiable en O, en raison de la présence de la racine carrée. Mais, encore faut-il le vérifier...

37 3.3. CONSÉQUENCES DE LA DIFFÉRENTIABILITÉ 29 L idée est d utiliser une propriété très utile en pratique. Il s agit de la propriété 3.5. En posant encore a = O et h = (x 1,..., x n ) R n, on a, pour t 0 : F(a + th) F(a) t =... = t N 2(h) t = ±N 2 (h). Non seulement, la fonction de h obtenue n est pas linéaire, car la norme euclidienne n est pas linéaire, mais en plus, on obtient deux limites a priori différentes selon que t > 0 ou t < 0. Chacun de ces deux arguments contredit la différentiabilité de F. Conclusion : On a bien-sûr F 2 = G. G est différentiable en O, et même de classe C 1 (R n ) en tant que fonction polynômiale, tandis que F est non-différentiable en O. 3.3 Conséquences de la différentiabilité Notion de gradient Soit f : R n R p, avec n et p, deux nombres entiers non nuls. On se ramène aisément f 1 (a) au cas : f : R n R en considérant que si a R n, alors : f(a) =., où f p (a) f i : R n R, avec i {1,..., p}. Ainsi, on considère f : R n R, avec n N. La différentielle de f en a a pour expression : d a f : R n R h = (h 1, h 2,..., h n ) d a f(h), avec d a f(h) = n i=1 h i f x i (a). Définition 3.7. Soit f : U R 2 R et a R 2. On appelle gradf(a) (gradient de f en a) ou f(a) (nabla de f(a)), le vecteur : ( ) f f f(a) = (a), x y (a). Si f : U R n R et a R 2, on définit f(a) par : ( f f(a) = (a), f (a),, f ) (a). x 1 x 2 x n Schéma récapitulatif On retiendra ce schéma, très utile pour traiter les exercices : f C 1 (U) = f admet un DL 1 (a), a U = f C 0 (U) f admet des DP en x U

38 30 CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ 3.4 Exercices du chapitre Exercice 3.1 : 1. Démontrer que la somme de deux applications linéaires est encore une application linéaire. 2. Plus généralement, démontrer que toute combinaison linéaire d applications linéaires est encore linéaire. Exercice 3.2 : Les applications suivantes sont-elles linéaires : 1. f : R 3 R 2 (x, y, z) (2x y, y 12 ). z. 2. g : R 2 R (x, y) xy. 3. h : C R + z z. 4. h : C R z Re(z) + Im(z). 5. On appelle F, l ensemble des fonctions de R dans R admettant une limite en 0. k : F R f lim f(x). x 0 Exercice 3.3 : Vérifier que l expression de la différentielle à l aide du gradient et du produit scalaire d une fonction f définie sur un ouvert U, en a U, et à valeurs réelles, définit une application linéaire. On pourra commencer par vérifier cette propriété dans R 2, puis dans R n, avec n, un entier naturel quelconque. Exercice 3.4 : Soit f, une aplication différentiable en un point a de R 2. On appelle ϕ a, la fonction définie pour u vecteur de R 2 fixé par : Prouver que : lim t 0 ϕ a (t) = df a ( u). ϕ a : R t R f(a + t u) f(a). t Exercice 3.5 : On considère la fonction f définie sur R 2 par la relation : f(x, y) = 1. Expliquer brièvement pourquoi f est différentiable en tout point de R Calculer le gradient de f. ex 1 + y Donner un développement limité à l ordre 1 de f au voisinage du point de coordonnées (0, 0). Exercice 3.6 : Calculer la différentielle à l origine des applications suivantes :

39 3.4. EXERCICES DU CHAPITRE 31 (i) f : R 2 R (x, y) f(x, y) = x x 2 + y 2 (ii) g : R 3 R (x, y, z) g(x, y, z) = xyz sin (xy) + 2x + 5. Exercice 3.7 : On appelle C (R 2 ), l ensemble des fonctions définies et infiniment dérivables sur R 2. On définit alors les fonctions et Φ par : : C (R 2 ) C (R 2 ) ϕ 2 ϕ x + 2 ϕ 2 y. 2 et Φ sont-elles linéaires? Exercice 3.8 : Soit f, la fonction définie par : f : R 2 R (x, y) et Φ : C (R 2 ) C (R 2 ) ϕ ϕ x ϕ y. 0 si (x, y) = (0, 0) x 2y 3 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 1. f est-elle continue? 2. Calculer les dérivées partielles de f. Sont-elles continues? 3. Calculer la différentielle de f au sens de Gâteaux au point de coordonnées (0, 0). L application f est-elle différentiable en (0, 0)? 4. Conclure sous forme d un schéma. Exercice 3.9 : On définit l application f de la façon suivante : f : R 2 \{(0, 0)} R xy (x, y) x2 + y Montrer que l on peut prolonger f par continuité. On appelle f, ce prolongement. 2. Étudier la différentiabilité de f. 3. f admet-elle des dérivées partielles? 4. f est-elle C 1 sur son ensemble de définition? 5. Conclure sous forme d un schéma. Exercice 3.10 : Reprendre les questions de l exercice précédent avec la fonction : g : R 2 \{(0, 0)} R ( (x, y) (x 4 + y 4 1 ) sin ). x4 + y 4 Exercice 3.11 : La fonction suivante est-elle différentiable? f : R 2 \{(0, 0)} R y 2 x si (x, y) (0, 0) (x, y) f(x, y) = x 2 + y 2 0 sinon

40 32 CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ Exercice 3.12 : Soit f, la fonction de R 2 dans R définie par : ( y f(x, y) = x 2 y sin. x) 1. Montrer que l on peut définir un prolongement par continuité de la fonction f. 2. f admet-elle des dérivées partielles sur R 2? 3. f est-elle de classe C 1 sur R 2? 2 f 4. Calculer x y (0, 0) et 2 f (0, 0). y x Remarque : attention à donner un sens convenable aux deux expressions ci-dessus, avant de les calculer. Rien ne certifie que f est de classe C 2 au voisinage de (0, 0). Exercice 3.13 : Soit f, la fonction définie par : f : R 2 \{(0, 0)} R xy x2 y 2 si (x, y) (0, 0) (x, y) f(x, y) = x 2 + y 2 0 sinon Prouver que f C 1 (R 2 ), et que f admet des dérivées secondes croisées distinctes en (0, 0). Que peut-on en déduire pour la fonction f? Faire un schéma. Exercice 3.14 : Le but de ce problème est d étudier, suivant les valeurs de α > 0, la différentiabilité au point (0, 0) de la fonction de deux variables définie par : f(x, y) = x α y α x 2 + y 2 xy. On rappelle que le nombre a α est défini pour tout α R et a > 0 par la relation : a α = e αln a. 1. Recherche de l ensemble de définition de f. Posons ψ(x, y) := x 2 + y 2 xy. En écrivant ψ(x, y) sous la forme de deux carrés, démontrer la propriété suivante : ψ(x, y) = 0 (x, y) = (0, 0). En déduire l ensemble de définition de f, noté D f. 2. Rappels sur la norme euclidienne. On appelle φ, la fonction définie sur R 2 par : φ(x, y) := (x 2 + y 2 ) 1 2 = x 2 + y 2. (a) Montrer que la fonction φ définit une norme sur R 2. (Rappeler les trois propriétés de la norme et s assurer qu elles sont vérifiées.) (b) Démontrer rapidement l inégalité vérifiée pour tous (x, y) R 2 : xy 1 2 φ2 (x, y). (c) En déduire un encadrement pour tous (x, y) non nuls du nombre 3. Étude de la continuité de f en (0, 0) f(x, y) x α y α.

41 3.4. EXERCICES DU CHAPITRE 33 (a) Cas α > 1. En utilisant la question précédente, démontrer que pour tous (x, y) non nuls, on a : f(x, y) 1 2 α 1φ2(α 1) (x, y). Conclure. (b) Cas 0 < α 1. { x = t On considère l arc paramétré défini pour t R par : 2. y = t Représenter rapidement l arc paramétré ci-dessus, puis l utiliser pour prouver que f est discontinue en 0 si α ]0; 1]. (c) Conclure. 4. Étude de la différentiabilité de f en (0, 0) (a) Donner la définition de différentiabilité d une fonction f en un point a de son ensemble de définition. (b) Soit f, une aplication différentiable en un point a de R 2. On appelle ϕ a, la fonction définie pour u vecteur de R 2 fixé par : ϕ a : R t R f(a + t u) f(a). t Prouver que : lim ϕ a (t) = df a ( u). t 0 (c) Donner un encadrement, pour (x, y) R 2 \{(0, 0)} du nombre : f(x, y) φ(x, y). (d) Prouver que si α > 3, la fonction f est différentiable en (0, 0). 2 (e) En utilisant des arcs paramétrés, démontrer que la fonction f est différentiable en (0, 0) si, et seulement si α > Application : α = 5 4. f est-elle de classe C1 sur R 2? Exercice 3.15 : Soit F, l ensemble des fonctions de R dans R. On considère l application : ϕ : F R 2. f (f(0), f(1)) Rappeler la définition d une fonction linéaire. f est-elle linéaire? Exercice 3.16 : Soit u, le vecteur de R 2 de coordonnées (1, 1). On considère l application P définie pour tout x, vecteur de R 2 par : P( x) =< x, u >, x où <.,. > désigne le produit scalaire de R 2 et. la norme euclidienne de R Démontrer que pour tout x 0, on a : P( x) Démontrer, sans se lancer dans des calculs compliqués que P est différentiable en tout point x de R 2 différent de Démontrer rigoureusement que P n est pas différentiable en 0.

42 34 CHAPITRE 3. NOTION DE DIFFÉRENTIABILITÉ Exercice 3.17 : On définit la fonction f sur R 2 par : f(x, y) = max(x, y). 1. Par un système de coloriage dans le plan, trouver un moyen de représenter f(x, y) en fonction de x et y. 2. Démontrer que : (x, y) R 2 x + y + x y, f(x, y) = Étudier la différentiabilité de f sur R 2. Exercice 3.18 : On considère l application f définie par : x 3 y 3 f(x, y) = x 2 + y2, pour (x, y) (0, 0) f(0, 0) = Montrer que f est continue sur R Montrer que f admet des dérivées partielles selon x et y en (0, 0). 3. Montrer que f n est pas différentiable en (0, 0). Conclure.

43 Chapitre 4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien 4.1 Matrice jacobienne Différentiabilité des fonctions de R n dans R p On considère une fonction f : R n R p f 1 (X) X = (x 1,..., x n ) f(x) =. f p (X) R n R. Procédons au préalable à quelques rappels sur la différentiabilité., avec f i : Si g est différentiable en a, on a, pour g : R n R : g(a + h) = g(a) + d a g(h) + o ( h ), pour tout h R n. h 0 On a de plus : d a g est une application linéaire appelée application différentielle de g en a ou application linéaire tangente de g en a. n d a g est définie par la relation : h R n g, d a g(h) =< g(a), h > R p= h i (a), où l on x i=1 i ( g a noté g(a) = (a),..., g ) (a). x 1 x n Résultat : dans le cas de f (fonction à valeurs vectorielles), on a : d a f 1 (h) d a f(h) =.. d a f p (h) Exemple : calcul de la différentielle de la fonction f définie par : f : R 2 R( 2 ) f1 (x, y) (x, y) = f 2 (x, y) 35 ( xy x + y ).

44 36 CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN On va calculer la différentielle de f en a = (2, 1). Remarque préalable : comme produit et somme de fonctions d une variable de classe C 1 sur R, f 1 et f 2 sont clairement de classe C 1 sur R 2. Elles sont donc différentiables. Posons h = (h 1, h 2 ). f 1 f 1 (x, y) = xy, donc d a f 1 (h 1, h 2 ) = h 1 x (a) + h f 1 2 y (a) = h 1 + 2h 2 ; f 2 f 2 (x, y) = x + y, donc d a f 2 (h 1, h 2 ) = h 1 x (a) + h f 2 2 y (a) = h 1 + h 2 ; ( ) ( ) ( ) h1 + 2h Par conséquent : d a f(h) = h1 =. La matrice J h 1 + h h a (f) := ( ) est la matrice de l application linéaire d 1 1 a f. On l appelle matrice jacobienne de f en a Généralisation Le théorème qui suit est la conséquence directe des calculs précédents, généralisés à une dimension supérieure et quelconque. Définition 4.1. Soit f : R n R p. On suppose f différentiable en a R n. La matrice de l application différentielle de f est : ( ) fi J a (f) = x j = 1 i p 1 j n f 1 (a) x 1 f 1 (a) x 2. f p (a) x 1 f 1 (a)... x 2 f 2 (a)... x 2... f p x 2 (a)... f 1 (a) x n f 2 (a) x n. f p (a) x n ( ) x ln y Exemple : matrice jacobienne de f : (x, y, z) e x+y+z. Posons : f 1 (x, y, z) = x ln y et f 2 (x, y, z) = e x+y+z. En posant a = (x, y, z), on trouve, après calculs, que : ( ) ln y x 0 F a (f) = y e x+y+z e x+y+z e x+y+z Le Jacobien Définition 4.2. Jacobien. Le Jacobien pris en a d une application f : R n R n est le déterminant de la matrice jacobienne J a (f). On le note det J a (f).

45 4.2. NOTION DE C 1 -DIFFÉOMORPHISME Notion de C 1 -difféomorphisme Généralités E et F désignenet des espaces vectoriels de dimension finie. Définition 4.3. Si U E et V F, où U et V sont des parties ouvertes, f est un C 1 -difféomorphisme entre U et V si f réalise une bijection entre U et V, avec f et f 1 de classe C 1 sur U et V. Remarque : Si f est un C 1 -difféomorphisme, pour tout a élément de U, d a f est un isomorphisme (bijection) d espaces vectoriels entre E et F. De plus : J f(a) (f 1 ) = J a (f) Caractérisation Propriété 4.1. Si ϕ L(E, E), et Φ désigne la matrice de ϕ dans la base canonique de E, alors les propositions suivantes sont équivalentes : (i) ϕ réalise une bijection. (ii) det Φ 0. Exemple 1 : on considère l application f : R 2 R 2 (x, y) (x + y, x y). Il est clair que l application f est de classe C 1 car les fonctions coordonnées sont des fonctions linéaires. Montrons à présent que f définit une bijection. Soient α, β) R 2. f(x, y) = (α, β) x = α + β et y = α β. On en déduit que U = R 2 et f(u) = R f est donc un C 1 -difféomorphisme de R 2 dans R 2. Exemple 2 : coordonnées polaires. Les changements de variables en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques, sont très souvent utilisés. Nous détaillons le premier, qui consiste à remplacer les coordonnées cartésiennes (x, y) d un point du plan, par le module ρ et l argument θ du point dans le plan complexe. φ : D = R 2 \{(0, 0)} = R + [0, 2π[ (x, y) (ρ, θ) Le module ρ s écrit ρ = x 2 + y 2. Par contre, il n est pas facile de donner une expression explicite de θ en fonction de x et y, à cause des problèmes de signe. On va plutôt utiliser l expression de φ 1. On a : φ 1 : = R + [0, 2π[ D = R 2 \{(0, 0)} (ρ, θ) (x, y) = (ρ cosθ, ρ sin θ). La matrice jacobienne de φ 1 au point (ρ, θ) est : ( cos θ ρ sin θ J (ρ,θ) φ 1 = sin θ ρ cosθ ).

46 38 CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN y ρ O θ x Fig. 4.1 Coordonnées polaires On a de plus : det J (ρ,θ) φ 1 = ρ 0, donc φ 1 est injective. À titre indicatif, on donne les expressions de ρ et θ en fonction de x et y, dans un cas simple, où x > 0 et y > 0 : θ = arctan y x. Le schéma ci-dessous récapitule les formules de bijection à utiliser, si l on souhaite exprimer l angle θ en fonction des coordonnées x et y : y θ = π 2 ( y θ = π arctan x) x < 0 et y > 0 ( y θ = arctan x) x > 0 et y > 0 x ( y θ = π + arctan x) x < 0 et y < 0 ( y θ = 2π + arctan x) x > 0 et y < 0 θ = 3π 2 Fig. 4.2 Coordonnées polaires

47 4.3. EXERCICES DU CHAPITRE Exercices du chapitre Exercice 4.1 : Soit M, la matrice : M = Calculer M 2 et M Résoudre l équation : M + X = I, où I désigne l identité. 3. Résoudre l équation : MX = A, où X est une matrice de type 3 1, et A = 4. Calculer (det M) 2 et det(m 2 ). Que remarque t-on? Exercice 4.2 : Soient A et B, les matrices 2 2 définies par : ( ) ( ) A = et B = Calculer AB et BA. Que constate t-on et comment nomme t-on cette propriété? 2. Calculer det(ab) et det(ba). Commenter. Exercice 4.3 : Déterminer la matrice jacobienne en X = (x, y) de la fonction f : R 2 R définie par la relation f(x, y) = x 2 y + ln(1 + y 2 ). Quel est l autre nom de cette matrice? Donner l expression matricielle, puis analytique de l application différentielle de f au point X en H = (h 1, h 2 ). Exercice 4.4 : On définit l application f par :. Calculer J a (f) en a = (1, 2, 0). f : R 3 R ( 2 x 2 y 3 z 4 (x, y, z) xy z 2 + x ) Exercice 4.5 : Soit f, une fonction de R 2 dans R Résoudre l équation en f : J a (f) = 0. (On recherche les fonctions f telles que pour tout a, on ait J a (f) = 0) 2. Compléter la résolution si l on impose det J a (f) = Résoudre l équation en f : J a (f) = I, où I désigne l identité. Indication : on admettra que si (x, y), on a une relation du type a(x) = b(y), alors, a et b sont constantes. 4. Compléter la résolution si on impose f(0) = Que vaut det J a (f), pour a = (a 1, a 2 )?

48 40 CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN Exercice ( ) 4.6 : On appelle matrice hessienne de f en a et on note Hess a (f), la matrice 2 f. i,j x i x j Donner une condition suffisante pour que la matrice hessienne d une fonction f : R n R n au point a est-elle symétrique? Expliquer. Exercice 4.7 : On appelle f l application : f : R 2 R( 2 ) x (x, y) 3 + 3xe y y x 2 Montrer que pour tout a = (x, y), le déterminant de la matrice jacobienne de f est strictement positif. Exercice 4.8 : Soient a et b, deux fonctions de R dans R. On appelle f l application : f : R 2 R( 2 ) a(x) (x, y) b(y) Quelle est la forme de la matrice jacobienne de f au point a = (x, y)? À quelle condition sur a et b le déterminant de cette matrice est-il strictement positif pour tous (x, y) R 2? Application : soit n Z. Pour tout x de R, a(x) = b(x) = x n. Exercice 4.9 : On considère la matrice : ( ) 1 3 A = Calculer la matrice A 2 + A 8I 2, où I 2 désigne la matrice identité d ordre En déduire que A est inversible et calculer A 1. Remarque : une matrice A est dite inversible si, et seulement s il existe une matrice A 1 telle que : AA 1 = A 1 A = I Soit n, un entier supérieur ou égal à 2. Déterminer le reste dans la division euclidienne du polynôme X n par X 2 + X 8. Indication : on se moque du quotient de la division. On rappelle que le reste R est tel que : X n = Q(X) (X 2 3X + 2) + R(X), avec d (R) 1, donc la question revient à déterminer a et b tels que : X n = Q(X) (X 2 3X + 2) + ax + b. On pourra faire prendre des valeurs particulières à X pour aboutir. 4. En déduire la matrice A n. 5. Calculer det A et det A n. Que remarque t-on? Exercice 4.10 : On définit la fonction f sur l ensemble D par : ( ) xy f(x, y) = x. y

49 4.3. EXERCICES DU CHAPITRE Déterminer D pour que f soit un C 1 -difféomorphisme. 2. Calculer la matrice jacobienne de f au point X = (x, y) D. 3. Calculer le jacobien de f en ce point et étudier son signe. Exercice 4.11 : Calculer le déterminant, avec a, b et c réels, et exprimer sous la forme la plus simple possible : D = cosa cos b cosc sin a sin b sin c Exercice 4.12 : On appelle M l ensemble des matrices de type 3 3. L application γ définie par : γ : M R M = (a ij ) γ(m) =. 3 i=1 a ii Calculer γ(i), où I désigne la matrice identité et répondre à la question : γ est-elle linéaire?

50 42 CHAPITRE 4. DÉTERMINANT, MATRICE JACOBIENNE, JACOBIEN

51 Chapitre 5 Recherche d extrema 5.1 Problèmes liés à la recherche d extrema Développement limité à l ordre 2 Définition 5.1. Soit f, une fonction définie sur une partie D de R n et à valeur dans R. (i) On dit que la fonction f admet un maximum relatif en un point x 0 de D lorsqu il existe un ouvert O D telle que : f(x) f(x 0 ), x O\{x 0 }. (ii) On dit que la fonction f admet un minimum relatif en un point x 0 de D lorsqu il existe un ouvert O D telle que : f(x) f(x 0 ), x O\{x 0 }. (iii) On dit que la fonction f admet un maximum absolu en un point x 0 de D lorsque : x D, f(x) f(x 0 ). (iv) On dit que la fonction f admet un minimum absolu en un point x 0 de D lorsque : x D, f(x) f(x 0 ). Exemple : on définit la fonction f sur R 2 par : f(x, y) = x 2 + 4xy + 4y 2. On a : (x, y) R 2, f(x, y) = (x + 2y) 2 0 = f( 2x 0, x 0 ), pour tout réel x 0. On en déduit qu en tout point du plan de coordonnées ( 2x 0, x 0 ), f admet un minimum absolu. On a le théorème suivant : Théorème 5.1. x 0 = (x 0 1,..., x0 n ) est un élément de Rn, V, un voisinage de x 0, B z (x 0 ), une boule ouverte incluse dans V. Soit f, une fonction définie sur V à valeur dans R. Lorsque la fonction f est de classe C 2 dans V, on peut aussi écrire son développement limité à l ordre 2 : x B z (x 0 ), x x 0, f(x 0 + h) = f(x 0 ) +, où, lim ɛ(h) = 0. h 0 n i=1 h i f x i (x 0 ) n i=1 n 2 f h i h j (x 0 ) + h 2 ɛ(h) x i x j j= Points critiques et extrema Définition 5.2. Point critique. Soit f, une fonction de classe C 1 dans un voisinage de a. 43

52 44 CHAPITRE 5. RECHERCHE D EXTREMA a est appelé point critique de la fonction f si, en ce point, on a : f (a) =... = f (a) = 0. x 1 x n Théorème 5.2. Théorème fondamental. Soit f, une fonction qui admet un maximum ou un minimum relatif en un point a de son domaine de définition D. Si f est de classe C 1 dans un voisinage de a, alors ses dérivées partielles du premier ordre sont nulles en ce point : f x 1 (a) =... = f x n (a) = 0. Conséquence : la différentielle de f en a est la fonction linéaire identiquement nulle sur R n. Démonstration : on se place dans le cas : f : R n R, où n est un entier donné. Soit alors j {1,..., n}. L idée est de se ramener aux fonctions d une variable que l on sait bien caractériser. Appelons (e 1, e 2,..., e n ), la base canonique de R n. Souvenons-nous que, sous réserve d existence, on a, pour tout X R n : f f(x + te j ) f(x) (X) = lim. x j t 0 t Appelons donc ϕ j, la fonction d une variable définie par : ϕ j : t f(a + te j ). ϕ j est dérivable en a (car f est de classe C 1 dans un voisinage de a), et puisque a est un extremum local pour la fonction f, il en est un aussi pour la fonction ϕ j et on en déduit que ϕ f j(a) = 0, autrement dit : (a) = 0. x j 5.2 Caractérisation des points critiques Hessienne d une fonction Attention : on rappelle au préalable que toute la théorie qui va suivre n est valable que lorsque les domaines considérés sont des ouverts. On prendra donc à chaque fois les précautions nécessaires pour se placer sur des ouverts. Définition à présent la matrice hessienne en un point a d une application de classe C 2 dans un voisinage de a : Définition 5.3. Matrice hessienne. Soit f, une fonction de classe C 2 sur U, ouvert de R n à valeurs dans R, et soit a, un point de U.

53 5.2. CARACTÉRISATION DES POINTS CRITIQUES 45 On appelle H a, la matrice hessienne de f au point a définie par : 2 f 2 f 2 f... x 2 1 x 1 x 2 x 1 x n ( ) 2 f 2 f 2 f 2 f... H a = (a) = x i x j 1 i n x 2 x 1 x 2 2 x 2 x n. 1 j n... 2 f 2 f 2 f... x n x 1 x n x 2 x 2 n (a) On appelle q a, la forme quadratique (c est à dire polynômiale dont tous les termes sont au maximum de degré 2) qui apparaît dans le développement en série de Taylor d une fonction f de classe C 2 dans un voisinage de a. On a alors : h R n, q a (h) = n i=1 n 2 f h i h j (a). x i x j Ainsi, dans un voisinage de a, avec des conditions de régularité appropriées dans un voisinage de a, on a : j=1 f(a + h) = f(a) + ( f(a), h) R n q a(h) + o( h 2 ). Propriété 5.1. H a est une matrice symétrique. On dit que H a est la matrice associée à la forme quadratique q a. Preuve : le lecteur pourra aisément s en convaincre. La proposition résulte directement du théorème de Schwarz Quelques notions d Analyse spectrale Avant de poursuivre, nous allons introduire la notion de valeur propre, essentielle, en Algèbre. I n désignera par la suite la matrice identité de taille n. Définition 5.4. Polynôme caractéristique et valeurs propres. Soit M, un matrice symétrique carrée de type n n. (i) On appelle polynôme caractéristique de M, le polynôme χ M défini par la relation : χ M (X) = det(m XI n ) (ii) On appelle valeurs propres réelles de M les nombres réels λ racines du polynôme caractéristique de M, autrement dit les solutions de l équation polynômiale de degré n : det(m λi n ) = 0. Exercice : déterminer le polynôme caractéristique ainsi que les valeurs propres de la matrice : A =

54 46 CHAPITRE 5. RECHERCHE D EXTREMA Remarque : on notera que le degré de χ A est toujours la dimension de la matrice A. Le théorème qui suit nous donne une méthode simple permettant de déterminer la nature des points critiques d une fonction : Théorème 5.3. Soit f, une fonction de classe C 2 dans un voisinage de a. On appelle H a, la matrice hessienne de f en a. H a est alors une matrice symétrique réelle dont les valeurs propres, nécessairement réelles sont ordonnées comme suit : λ 1 λ 2... λ n. On alors : (i) Si λ i > 0 pour tout i {1,..., n}, f admet un minimum relatif en a. (ii) Si λ i < 0 pour tout i {1,..., n}, f admet un maximum relatif en a. (iii) Si λ 1 < 0 et λ n > 0, alors f n admet pas d extremum relatif en a. (iv) S il existe i {1,..., n} tel que λ i = 0, et si j i, λ j 0 ou λ j 0, on ne peut rien conclure. 5.3 Cas de la dimension 2 Nous allons réécrire dans ce paragraphe tous les résultats établis précédemment appliqués au cas de la dimension 2. f désigne donc une fonction définie et de classe C 2 sur un ouvert U R 2 et a désigne un point de U. On pose a = (a 1, a 2 ). Théorème 5.4. Formule de Taylor-Young à l ordre 2. Soit X = (x 1, x 2 ) U. Alors, il existe η > 0 tel que, pour tous (h, k) R 2 vérifiant (h, k) 2 < η, on a : f(x 1 + h, x 2 + k) = f(x 1, x 2 ) + f x (x 1, x 2 )h + f y (x 1, x 2 )k + 1 [ ] 2 f 2 x (x 1, x 2 2 )h f x y (x 1, x 2 )hk + 2 f y (x 1, x 2 2 )k 2 + o( (h, k) 2 2). Rappel : si a est un point critique, d a f(h) = 0, h R n. Le cas de la dimension est si simple qu il n est pas utile de parler de matrice hessienne. Les notations de Monge définissent trois coefficients intervenant dans la matrice hessienne de f. Le théorème qui suit simplifie la caractérisation des points critiques d une fonction de R 2 dans R. Définition 5.5. Notations de Monge. a étant un point critique de f, on définit les coefficients r, s et t par : r = 2 f x 2 (a), s = 2 f x y (a) = 2 f y x (a) et t = 2 f y 2 (a). Théorème 5.5. Soit a, un point critique de f. (i) Si rt s 2 > 0 et r > 0, f admet un minimum local en a. (ii) Si rt s 2 > 0 et r < 0, f admet un maximum local en a. (iii) Si rt s 2 < 0, f n admet pas d extremum en a. On dit alors que a est un point selle ou point col.

55 5.3. CAS DE LA DIMENSION 2 47 (iv) Si rt s 2 = 0, on ne peut rien affirmer. Remarque : dans le cas où rt s 2 = 0, il faut revenir à la définition d extremum. Si a est un point col, il s agit d exhiber des arcs paramétrés qui démontrent que f prend des valeurs positives et négatives dans un voisinage de a. Sinon, si a est un extremum local, il faut raisonner à l aide d inégalités locales. Nous étudierons ce cas (assez complexe) en exercice. Exemple : on considère la fonction f : R 2 R définie par la relation : f(x, y) = x 2 + y 4. f est de classe C 2 sur R 2 comme somme de fonctions polynômiales et pour tous (x, y) R 2 : f(x, y) = (2x, 4y 3 ). f n admet donc qu une seul point critique : (0, 0). De plus : r = 2, t = 0 et s = 0. Donc rt s 2 = 0. On ne peut rien affirmer avec la forme quadratique. Cependant, on a clairement : pour tous (x, y) R 2, f(x, y) 0 = f(0, 0) donc f admet en (0, 0) un minimum global.

56 48 CHAPITRE 5. RECHERCHE D EXTREMA 5.4 Exercices du chapitre Exercice 5.1 : Déterminer les extrema locaux des applications suivantes et donner le maximum de précisions possibles sur ces extrema : 1. f : R 2 R (x, y) x 4 + x 2 + y 2 + y 4 2. g : (R + )2 R (x, y) x 3 + 2xy 5x + 5y 3. h : R 2 R (x, y) (3x + 7)e ((x+1)2 +y 2 ) 4. i : R 2 R (x, y) 6x 2 y 3 2x 3 y 3 3x 2 y 4 5. j : R 2 R (x, y) cosxe sin y 6. k : R + R R (x, y) x ln 2 x + xy 2 Exercice 5.2 : On définit la fonction f pour tous (x, y) R 2 par : f(x, y) = x 4 + y 4 4xy. 1. Déterminer le gradient de f au point X = (x, y). 2. Calculer pour tous (x, y) R 2, f( x, y), et en déduire une conséquence graphique pour la surface représentative de f. 3. Déterminer tous les points critiques de f. 4. Caractériser chacun de ces points critiques. Préciser si ce sont des extrema locaux, globaux, ou autres. 5. En utilisant une inégalité sur le réel xy, majorer et minorer le nombre f(x, y) par un nombre du type X 2 (x) + Y 2 (y) + α, où X est une fonction de x, Y une fonction de y et α, un nombre réel. Que peut-on en déduire? Exercice 5.3 : Soit α, un paramètre réel. On considère la fonction f α définie par : f α (x, y) = 1 + x + αxy + 2y 2 + αx Déterminer le gradient de f α au point de coordonnées (x, y). 2. Montrer que si (x, y) est un extremum local, alors il vérifie le système : 3αx 2 α2 x (S) = 0; y = αx Montrer que (S) admet des solutions si, et seulement si α ] ; 0[ [ 3 192; + [. 4. Donner les couples solutions dans ce cas. 5. Trouver un chemin paramétré (x(t); y(t)) t 0 tel que x(t) t + +, y(t) t + + et f α (x, y) diverge vers +. On pourra séparer les cas α 0 et α < 0. En réitérant ce raisonnement, trouver un chemin paramétré tel que f α divere vers. Que peut-on en déduire quant-aux éventuels extrema de f α?

57 5.4. EXERCICES DU CHAPITRE Cas particulier : α = 6. Caractériser les points critiques de f 6. Exercice 5.4 : On appelle f et g, les fonctions respectivement définies sur R 2 par : g(x, y) = x 2 + xy + y 2 et f(x, y) = (2x 2 4) 2 + (2x 2 4)(y 2 1) + (y 2 1) 2. La question 4. est indépendante du reste de l exercice. 1. Déterminer les points critiques de g, puis caractériser ces points critiques. 2. Démontrer la propriété : (x, y) R 2, g(x, y) 0. Compléter alors la réponse à la question précédente. 3. Déduire des questions précédentes que f admet quatre minima globaux que l on précisera. 4. Le but de cette question est de déterminer le maximum de la fonction g sur le cercle unité de R 2, c est à dire le cercle C de centre O(0, 0) et de rayon R > 0 (à ne pas confondre avec le disque de centre O et de rayon 1). (a) Soit θ, un nombre réel élément de ] π, π]. Simplifier le nombre g(r cos θ, R sin θ). (b) En déduire la valeur du maximum de la fonction g sur le cercle C. (c) En procédant de même, trouver la valeur du minimum de g sur le cercle C. (d) Conclure à l aide d un schéma.

58 50 CHAPITRE 5. RECHERCHE D EXTREMA

59 Chapitre 6 Introduction aux équations aux dérivées partielles 6.1 Équations différentielles Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires Définition 6.1. Une équation différentielle scalaire d ordre n est une équation reliant une fonction y et ses dérivées y, y,..., y (n) de la forme : a n (t)y (n) + a (n 1) (t)y (n 1) a 0 (t)y = b(t) (E), où a 0,..., a n et b sont des fonctions définies sur un même intervalle I et à valeurs dans R. Remarque : par souci de clarté, on écrit y plutôt que y(t). On peut même écrire (E) sous la forme : a n y (n) a 0 y = b. Notations : b s appelle le second membre de (E). On appelle équation différentielle homogène associée à (E) et on note (H) l équation : a n (t)y (n) + a (n 1) y (n 1) a 0 (t)y = 0. Si a 0,..., a n sont des fonctions constantes, (E) est dite à coefficients constants. (E) est appelée équation linéaire car si y et z sont deux solutions de (E), on vérifie aisément que pour tous λ et µ réels, la fonction λy +µz est encore une solution de (E). Vocabulaire : résoudre (E), c est déterminer une fonction y et un intervalle I R tel que y : I R soit solution de (E). On parle tout simplement de solution maximale lorsque I est le plus grand possible. 51

60 52 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP Un exemple en Physique Considérons l exemple d un mobile glissant sur un plan incliné avec frottements. Il s agit d appliquer le principe fondamental de la Dynamique. Voici le schéma correspondant à cette situation : On peut écrire, d après la deuxième loi de Newton : F ext = m a = f R P α x Fig. 6.1 Exemple Physique m d v dt. Les forces mises en jeu sont P, le poids du mobile, R, la réaction au support, et f, la force de frottement telle que f = β v, avec β R +. Projetons sur l axe du mouvement, on obtient : mg sin α βv = m dv dt dv dt + β v = g sin α. m On obtient une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants. La plupart des situations en Physique peuvent se modéliser à l aide d équations différentielles. Évidemment, plus le modèle est sophistiqué, plus les équations différentielles seront compliquées à résoudre Équation différentielles linéaires à coefficients constants Équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants Propriété 6.1. On appelle équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants toute équation du type : (H) y = ay, où a désigne une constante réelle. Les solutions de (H) sont les fonctions f k : R R définies par : f k (x) = k exp(ax), où k R. Démonstration : on appelle y 0 la fonction définie sur R par : y 0 (x) = exp(ax). On va utiliser un changement de fonction pour résoudre (H). Posons : y = y 0 z, où z est une fonction définie sur R et dérivable. On a : y ay = 0 y 0 z + z y 0 ay = 0 z y 0 = 0. Or, on a clairement x R, y 0 (x) > 0. On en déduit que : x R, z (x) = 0, autrement dit, z est une fonction constante sur R et le résultat souhaité s ensuit. Conséquence : l ensemble des solutions de (H) est un espace vectoriel de dimension

61 6.1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Ainsi, l équation différentielle : { y = ay y(0) = ŷ 0, avec ŷ 0 réel possède une unique solution qui est définie sur R. Exemple : résolvons l équation différentielle : { y = y y(0) = 1 La solution est de la forme : y(x) = ke x, et puisque y(0) = 1, on en déduit que x R, y(x) = e x Théorème de structure des solutions Ce principe peut s appliquer à des équations différentielles de tout ordre. Énonçons-le d abord pour les équations différentielles du premier ordre. Théorème 6.1. Considérons l équation différentielle : (E) y = ay + f(x), où f est une fonction donnée définie sur un intervalle I. On appelle (H) l équation homogène associée à (E) : y = ay, et ϕ, une solution particulière de l équation (E). Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) y est solution de (E). (ii) y ϕ est solution de (H). Preuve : ϕ est une solution particulière de (E). Par conséquent, ϕ vérifie : ϕ = aϕ+f(x). Puis, y ϕ est solution de (H) (y ϕ) = a(y ϕ) a = ay + f(x). Remarque : le théorème de structure des solutions peut s écrire de façon symbolique : Solution générale = Solution particulière + Solution de l équation homogène Il est important de savoir redémontrer ce théorème. Exemple : on veut résoudre l équation diffréntielle y + y = x + 1. Il est évident que la fonction u définie sur R par u(x) = x est une solution particulière de cette équation différentielle. L équation différentielle homogène associée est : y = y. D après le théorème de structure des solutions, la solution générale de cette équation différentielle est définie pour x R par : y(x) = ke x + x, où k R. Exercice : démontrer le théorème suivant : Théorème 6.2. On consière l équation différentielle d ordre n (E) : a n y (n) +a (n 1) y (n 1) a 0 y = b(t), où a 0,..., a n désignent des constantes et b, une fonction définie sur un intervalle I donné. On appelle (H) l équation homogène associée à (E). On suppose que la fonction ϕ est une solution particulière de (E). Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

62 54 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP (i) y est solution de (E). (ii) y ϕ est solution de (H) Équations différentielles homogène du second ordre à coefficients constants Théorème 6.3. On considère l équation différentielle : (H) : ay + by + cy = 0, où a, b et c sont trois constantes réelles. On appelle (EC) l équation caractéristique associée à (H), c est à dire l équation polynômiale du degré 2 : ax 2 + bx + c = 0, et := b 2 4ac, son discriminant. Alors : (i) Si > 0, (EC) admet deux solutions réelles r 1 et r 2. La solution de (H) est de la forme : x R, y(x) = c 1 e r 1x + c 2 e r 2x, où (c 1, c 2 ) R 2. (ii) Si = 0, (EC) admet une solution double r 0. La solution de (H) est de la forme : x R, y(x) = (c 1 + c 2 x)e r 0x, où (c 1, c 2 ) R 2. (iii) Si < 0, (EC) admet deux solutions complexes conjuguées α ± iβ. La solution de (H) est de la forme : x R, y(x) = e αx (c 1 e βx + c 2 e βx ), où (c 1, c 2 ) R 2. Exemple 1 : on veut résoudre l équation différentielle : y + ω0 2y = x, avec ω 0 R +. On va utiliser le théorème de structure des solutions. L équation caractéristique associée est (EC) : X 2 + ω0 2 = 0. On en déduit immédiatement que les solutions de l équation homogène associée sont les fonctions : x c 1 cos(ω 0 x) + c 2 sin(ω 0 x). Ainsi, en remarquant que la fonction x x est une solution particulière, on en déduit ω0 2 que l ensemble des solutions de l équation différentielle ci-dessus sont les fonctions : x c 1 cos(ω 0 x) + c 2 sin(ω 0 x) + x, avec (c ω0 2 1, c 2 ) R 2. Exemple 2 : on considère l équation différentielle que l on cherche à résoudre sur l intervalle [0, T] : { y + ky = 0, avec k R. y(0) = y(t) = 0 1. Expliciter, suivant les valeurs de k, les différentes possibilités de solutions pour (E). 2. Montrer qu une seule des possibilités précédentes ne fournit pas la solution identiquement nulle. Solution : 1. C est une application directe du cours : Si k < 0 : la solution y de (E) s écrit sous la forme : x R, y(x) = Ae kx + Be kx, où A et B sont deux constantes réelles.

63 6.2. COMPLÉMENTS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL 55 Si k = 0 : la solution y de (E) s écrit sous la forme : x R, y(x) = A + Bx, où A et B sont deux constantes réelles. ( kx ) Si k > 0 : la solution y de (E) s écrit sous la forme : x R, y(x) = A cos + ( kx ) B sin, où A et B sont deux constantes réelles. 2. On utilise les conditions de l équation : Si k < 0 : y(0) = 0 = A + B = 0, puis y(t) = 0 = A(e kt e kt ) = 0, c est à dire A sinh ( kt) = 0, puis il suffit de conclure en utilisant une propriété de la fonction sinh et on trouve que A = B = 0(à finir...) Si k = 0 : y(0) = 0 = A = 0, puis y(t) = 0 = BT = 0 = B ( = 0. kt ) Si k > 0 : y(0) = 0 = A = 0, puis y(t) = 0 = B sin = 0 = kt = nπ, avec n N (car la solution B = 0 n est pas intéressante, elle fournit la solution identiquement ( nulle...). Ainsi, dans ce cas, on a pour tout x R : nπx ) y(x) = B sin, avec n, un entier naturel. T 6.2 Compléments de calcul différentiel Composition des différentielles Au préalable, rappelons la définition de l image d une partie d un ensemble par une application. Soit U D f, où D f désigne l ensemble de définition d une fonction f donnée. On a : f(u) = {f(x), x U}. Remarque : x dans la définition peut désigner un vecteur, pas nécessairement un réel. f(u) s appelle «l image de U par f». On a le résultat suivant : Théorème 6.4. Soit f C 1 (U, F) et g C 1 (V, G), où f(u) V. Alors, g f C 1 (U, G) et : a U, h U, d a (g f)(h) = d f(a) g d a f(h). Matriciellement, avec les notations usuelles, la relation précédente s écrit : J a (g f) = J f(a) g J a f. Remarque : bien-sûr, désigne ici la multiplication matricielle. Traduction analytique des écritures précédentes : posons h = g f : U G. On va supposer que U R n, G R p et f(u) V R q. Soit a U et h = (h 1, h 2,..., h p ). Supposons que i {1, 2,..., p} et j {1, 2,..., n}. On a : h i x j = q k=1 g i x k [f(a)] f k x j (a).

64 56 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP Exemple détaillé Soit g, une fonction de R 2 dans R et f, la fonction définie par : f : R 2 R 2 (x 1, x 2 ) (x 1 + x 2, x 1 x 2 ) = (f 1 (x 1, x 2 ), f 2 (x 1, x 2 )). Si h := g f, on souhaite exprimer les dérivées partielles de h en fonction de celles de g. Cet exemple est essentiel. Nous comprendrons mieux son utilité dans le chapitre suivant. On a : J f(a) g = g (f(a)) = ( g x 1 (f(a)), g x 2 (f(a)) ) et J a f = f 1 f 1 x 1 f 2 x 2 f 2 x 1 x 2 Par conséquent, en appliquant la formule ci-dessus, on trouve : ( ) ( 1 1 g J a h = (f(a)), g ) ( h (f(a)) = (a), h (a) 1 1 x 1 x 2 x 1 x 2 Par conséquent : h (a) = g [f(a)] + g [f(a)] ; x 1 x 1 x 2 h (a) = g [f(a)] g [f(a)]. x 2 x 1 x Quelques opérateurs différentiels (a) = ). ( Dans ce paragraphe, nous considérons une fonction f : U R n R, suffisamment régulière pour pouvoir définir les opérateurs ci-dessous, c est à dire de classe C 1 (U) ou C 2 (U). Définition 6.2. On définit respectivement le gradient, la divergence et le laplacien de f suffisamment régulière, en un point a de U par : ( f gradf(a) = f(a) = (a),..., f ) (a) x 1 x n divf(a) = f x 1 (a) f x n (a) = f(a) = 2 f (a) f (a) = x 2 1 x 2 n n k=1 n k=1 f x k (a) 2 f (a) x 2 k Nous retrouverons ces opérateurs, car ils interviennent régulièrement dans les équations aux dérivées partielles. Définition 6.3. On dit que f : R n R est harmonique sur U, ouvert de R n si, et seulement si : u = 0 sur U. Une équation aux dérivées partielles peut être vue comme une équation différentielle généralisée. ).

65 6.3. CHANGEMENT DE COORDONNÉES 57 Définition 6.4. Une équation aux dérivées partielles ou EDP est une équation reliant une fonction à ses dérivées partielles ou une équation reliant entre elles les dérivées partielles d une fonction. Remarque 1 : la solution d une EDP est une fonction de plusieurs variables. Par conséquent, le domaine sur lequel on résout l EDP joue un rôle essentiel et il est important de le connaître dès le début. En général, il existe des conditions au bord (c est à dire des conditions sur la fonction en tout point du bord du domaine), des conditions initiales (lorsque l une des variables représente le temps par exemple, on possède des informations sur la fonction à t = 0), etc. Remarque 2 : Si le domaine de résolution de l EDP est noté U et si U est un domaine fermé borné, on note U le bord du domaine. Donnons immédiatement une exemple d EDP en dimension 2. Exemple : l et L désignent deux nombres réels strictement positifs. Cette EDP peut y C L u = L B u = y u = 0 u = y O u = 0 l A x Fig. 6.2 Un exemple d EDP encore s écrire formellement, en notant R le rectangle ci-dessus, de la façon suivante : u(x, y) = 0 (x, y) R R 2 u(0, y) = u(l, y) = y y [0, L] u(x, 0) = 0 x [0, l] u(x, L) = L x [0, l]. Remarque 1 : R = [OA] [AB] [BC] [CO]. Remarque 2 : le lecteur vérifiera aisément que la continuité des conditions aux bord pour cette EDP. 6.3 Changement de coordonnées Dans ce paragraphe, nous ne considérerons que des fonctions de R 2 et à valeurs dans R.

66 58 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP Repère polaire Appelons u(θ), le vecteur défini pour tout réel θ par : u(θ) = cosθ i + sin θ j. y M j u(θ) i θ x (D) Fig. 6.3 Repère polaire Remarque 1 : u(θ) 2 = cos 2 θ + sin 2 θ = 1. Remarque 2 : tout point M de la droite (D) passant par O et de vecteur directeur u(θ) peut être repéré par le réel ρ tel que : OM = ρ u(θ). On peut supposer que ρ > 0 en remarquant que u(θ + π) = u(θ). En effet, si ρ < 0, OM = ρ u(θ) = ρ u(θ + π). Définition 6.5. Le couple (ρ, θ) est appelé système de coordonnées polaires du point M. Remarque : pour tout couple (x, y) R 2 \{(0, 0)}, on a (ρ, θ) R + [0, 2π[. Propriété 6.2. À partir d un système de coordonnées polaires (ρ, θ) du point M, on retrouve les coordonnées cartésiennes de M par les relations : x = ρ cosθ et y = ρ sin θ ( Définition 6.6. Posons v(θ) = u θ + π ). Le repère (O; u, v) est orthonormal. On l appelle repère polaire attaché au point M. 2 Ce repère est l image du repère (O; i, j) par la rotation d angle θ et de centre O Changement de variables quelconque On note ϕ la fonction «changement de coordonnées en polaires», définie par : ϕ : R 2 R 2 (ρ, θ) (x, y) = (ρ cosθ, ρ sin θ). Si f est une fonction de R 2 dans R, on peut avoir envie d exprimer f(x, y) à l aide des coordonnées polaires ρ et θ. Cette technique peut être notamment utilisée pour calculer des limites de fonctions à deux variables. Théorème 6.5. (x, y) (0, 0) ρ 0.

67 6.3. CHANGEMENT DE COORDONNÉES 59 Démonstration : ρ 0 est équivalent à ρ 2 0. Or, ρ 2 = x 2 + y 2 0. Donc ρ 0 est équivalent à x 2 0 et y 2 0. D où le résultat souhaité. Exemple : on définit la fonction f sur D = R 2 \{(0, 0)} par : f(x, y) = x2 y x 4 + y 4. On pose pour tous (x, y) D, f(x, y) := F(ρ, θ) = f(ρ cosθ, ρ sin θ). On a donc : F(ρ, θ) = ρ3 cos 2 θ sin θ ρ 4 (cos 2 θ + sin 2 θ) = 1 ρ (cos2 θ sin θ). De plus, F(ρ, θ) = f(x, y) +. Par conséquent, f n est pas continue en O. ρ 0 Exercice : la fonction f définie par f(x, y) = x 4 est-elle prolongeable par conti- x 2 + y2 nuité en O? On peut également avoir envie d exprimer les dérivées partielles d une fonction de x et y quelconque f en fonction des dérivées partielles de F : F F et ρ θ. On va s intéresser à la fonction ϕ. Nous avons déjà prouvé dans un précédent chapitre que ϕ est un C 1 -difféomorphisme. C est une condition nécessaire pour la fonction «changement de coordonnées». La matrice jacobienne de ϕ en a = (ρ, θ) est donnée par : J a (ϕ) = x ρ y ρ x θ y. θ On rappelle également un résultat d un chapitre précédent. En supposant que f et g vérifient les conditions de régularité nécessaires, on peut écrire que : J a (g f) = J f(a) (g) J a (f). Si f C 1 (U), U ouvert de R 2, en se souvenant que ϕ(ρ, θ) = (ρ cosθ, ρ sin θ), on a F = f ϕ. En effet, (ρ, θ) R + [0, 2π[, F(ρ, θ) = f(ρ cosθ, ρ sin θ) = f ϕ(ρ, θ). Il s ensuit que si a = (ρ, θ) U, ϕ(a) = (x, y) (écriture cartésienne de a), et on a : ( F ρ, F ) ( f = θ x, f ) y On en déduit immédiatement que : F = f f cosθ + ρ x y sin θ F = f f ρ sin θ + θ x y ρ cosθ x ρ y ρ x θ y. θ f x = F ρ f = F y ρ cosθ sin θ ρ sin θ + cosθ ρ Conclusion générale : lorsque l on souhaite calculer les dérivées d une fonction après un changement de variable, la méthode précédente se généralise aisément. On appelle en F θ F θ

68 60 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP général ϕ la fonction «changement de variable» (comme dans l exemple précédent). Il est nécessaire de vérifier de prime abord que ϕ définit un C 1 -difféomorphisme. On utilise ensuite la formule J a (g f) = J f(a) (g) J a (f). Dans le paragraphe qui suit, nous allons étudier une application de la méthode de changement de variable Trois méthodes de résolution explicite d EDP Dans ce paragraphe, nous travaillerons beaucoup à l aide d exemples, car la théorie qui se cache derrière est sopuvent un peu ardue. De nombreux exercices portant sur ces notions seront proposés en TD Changement de coordonnées On veut résoudre l EDP : (E) f x f y On va utiliser le changement de coordonnées : { u = x + y v = x y = a, avec a R. x = u + v 2 y = u v 2 On choisit donc de poser : ( u + v (x, y) R 2, f(x, y) = F(u, v) = f, u v ). 2 2 L idée est de se ramener à une équation réécrite en variables u et v que l on sait facilement résoudre, puis d utiliser les relations reliant F et f pour en déduire l expression de f(x, y) en fonction de x et y. On va donc exprimer f f F F et en fonction de et x y u v. On appelle ϕ, la fonction de R 2 dans R 2 définie par : ϕ(x, y) = (u, v) = (x + y, x y). ϕ est une fonction de classe C 1 (R 2 ) et on a : u x v x u y v y = Puisque : J a (F ϕ) = J ϕ(a) F J a ϕ, a R 2, alors ( f x = F u + F v f = F y u F v ). ( f x, f ) ( F = y u, F ) ( 1 1 v 1 1. ) :

69 6.3. CHANGEMENT DE COORDONNÉES 61 Par conséquent, (E) devient 2 F F = a, autrement dit v v = a. Par intégration directe, 2 on en déduit qu il existe une fonction g, de classe C 1 sur R par : F(u, v) = a 2 v + g(u). Cette relation devient donc : (x, y) R 2, f(x, y) = F(x + y, x y), qui devient : (x, y) R 2, f(x, y) = a (x y) + g(x + y) Méthode de séparation des variables On souhaite résoudre l équation aux dérivées partielles suivante : (E) f x = f y. L idée est de séparer les variables, c est à dire que l on suppose que la solution de l équation s écrit sous la forme : (x, y) R 2, f(x, y) = F(x)G(y), où F et G sont deux fonctions de classe C 1 sur R. On peut alors écrire que : (x, y) R 2, on a : f (x, y) = x G(y) F x (x) f (x, y) = F(x) G y y (y). L équation (E) se réécrit donc sous la forme : F(x) G (y) = G(y) F y x (x). Si l on suppose de plus que F et G ne s annulent pas sur leur domaine de définition, on a : (x, y) R 2 1 G, G(y) y (y) = 1 F F(x) x (x). Or, y 1 G 1 F (y) et x (x) sont respectivement des fonctions de y et x. G(y) y F(x) x On en déduit l existence d une constante c R telle que : { F = cf G = cg. On reconnaît deux équations différentielles linéaires et homogènes du premier ordre que l on résout sans difficulté. Ainsi, pour tous x et y réels, on a : f(x, y) = γe c(x+y), avec γ R. Remarque : remarquons que la solution par séparation de variables ne fournit qu une solution particulière ou un ensemble de solutions particulières mais en aucun cas l ensemble des solutions d une EDP. Pour s en convaincre, il faut constater que l équation résolue par la méthode de séparation des variables est l équation résolue par changement de variable dans le cas a = 0. De nombreux exemples seront traités en exercices. L équation de la chaleur peut être résolue à l aide de la méthode de séparation des variables. Ce sera vu dans les travaux dirigés de ce chapitre.

70 62 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP 6.4 Exercices du chapitre Exercice 6.1 : En utilisant le théorème de structure des solutions, résoudre complètement l équation différentielle : (E) y = ay + b, où a et b sont deux constantes réelles. Exercice 6.2 : Résoudre les équations différentielles suivantes (on pourra chercher dans chaque cas une solution particulière) : 1. y + y = e x ; 2. y + ω 2 0y = 0; 3. y 3y = x 2 + 2x 4; 4. 2y + 4y 6y = 4; 5. y xy = 0; 6. (1 + x 2 )y y = 0; 7. y xy = 2x x 3 ; 8. y y = x 2. Exercice 6.3 : Un exemple d équation différentielle en Physique. Établir l équation différentielle de la charge d un condensateur C à travers une résistance R par une tension constante E et la résoudre. On supposera que la charge initiale du condensateur est nulle. On introduit τ = RC. Quelle est la charge du condensateur au bout d un temps τ? Exercice 6.4 : On considère l équation différentielle régissant le comportement d un pendule pesant : θ + g sin θ = 0; l θ(0) = π 2 θ (0) = 0. g désigne la constante de gravitation, et l, la longueur du pendule. 1. Démontrer la relation suivante : t 0, cos(θ(t)) = l 2g dθ dt (t) 2. Démontrer que θ, la solution de l équation différentielle ci-dessus est une fonction lipschitzienne. Rappel : on dit qu une fonction f définie sur D R est lipschitzienne si : C > 0 : (x, y) D 2, f(x) f(y) < C x y. 3. Rechercher toutes les fonctions constantes solutions de l équation différentielle cidessus. Ces solutions vous paraissent-elles réalistes? Comment les interprétez-vous physiquement? 2.

71 6.4. EXERCICES DU CHAPITRE 63 Exercice 6.5 : Soit f, une fonction de deux variables x et y définie sur R 2. On pose F(r, θ) = f(r cosθ, r sin θ). 1. Déterminer l expression du gradient de f en coordonnées polaires. 2. On définit le Laplacien d une fonction f de deux variables x et y par : f = 2 f x f y 2. Déterminer l expression du Laplacien en coordonnées polaires, c est à dire l expression de f en fonction de r et θ, et des dérivées partielles de F. On montrera que : f = 2 F r + 1 F 2 r r F r 2 θ. 2 Remarque : ce calcul est très fastidieux... Courage!! 3. Application : vérifier les formules établies précédemment à partir de la fonction f définie par : f(x, y) = e x2 y 2. Exercice 6.6 : En utilisant par exemple les coordonnées polaires, étudier la continuité des fonctions suivantes : 1. f(x, y) = xy x 2 + y ; 2 2. f(x, y) = xy x + y ; xy 3. f(x, y) = x + y ; 4. f(x, y) = x2 + y x 3 + y 2 ; 5. f(x, y) = x4 + y 3 x 2 + y 2. Exercice 6.7 : Le but de cet exercice est de résoudre l équation aux dérivées partielles : (E) x f x + y f y = x 2 + y Passage en coordonnées polaires. On se place dans le repère orthonormé du plan (O; i, j). Soit f, une fonction de classe C 1 sur son ensemble de définition U. Posons x = r cosθ et y = r sin θ, avec r > 0 et θ [0; 2π[. On appelle f la fonction définie par : f(r, θ) := f(x, y) = f(r cosθ, r sin θ). On appelle g, la fonction définie sur R + [0; 2π[ par : g(r, θ) = On pose a = (r, θ), et pour tout réel θ de l intervalle [0; 2π[ : { u(θ) = cosθ i + sin θ j ; v(θ) = sin θ i + cos θ j. ( r cosθ r sin θ ).

72 64 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP (a) Déterminer J a g, la matrice jacobienne de g en a, et J g(a) f, la matrice jacobienne de f en g(a). Quel est l autre nom de cette matrice pour le cas de f? (b) En déduire les expressions de f r et f θ en fonction de f x et f y. (c) Exprimer f f f f et en fonction de et x y r θ. (d) Démontrer que pour tous (x, y) U et (r, θ) R + [0; 2π[, on a : f(x, y) = f r (r, θ) u(θ) + 1 f. (r, θ) v(θ). r θ 2. Déduire de la question précédente que l équation (E) est équivalente à l équation : (E ) f r = Résoudre l équation (E ), et démontrer que la fonction f est de la forme : f(x, y) = ( y x 2 + y 2 + ψ, x) où ψ est une fonction de classe C 1 sur R. Exercice 6.8 : En utilisant un changement de variables en coordonnées polaires, trouver toutes les applications f : (R +) 2 R, de classe C 1 telles que : (x, y) (R + )2, x f (x, y) + y f x y (x, y) = y x. Exercice 6.9 : On souhaite résoudre l équation aux dérivées partielles : (E) f x + y f x y = 2y. 1. Déterminer un ensemble D R 2 \ {(x, y) R 2 : x 0} tel que le changement de variables u = xy et v = y x définisse un C1 -difféomorphisme. 2. En utilisant ce changement de variables, résoudre l équation aux dérivées partielles ci-dessus. 3. Commentez le résultat obtenu. Avez-vous, à votre avis trouvé toutes les solutions de cette équation? Pourquoi? Exercice 6.10 : On souhaite résoudre l équation aux dérivées partielles : (E) 2 f x 2 2 f y x f désigne bien-sûr une fonction de classe C 2 sur R 2. = 2(x y). 1. Démontrer que le changement de variable u = x + y et v = x y définit un C 1 - difféomorphisme sur R 2.

73 6.4. EXERCICES DU CHAPITRE En utilisant ce changement de variables, résoudre l équation aux dérivées partielles ci-dessus. Exercice 6.11 : On va tenter de résoudre l EDP suivante : k f x = f, avec k R. y 1. Traiter le cas k = Poser f(x, y) = g(x)h(y), où g et h sont deux fonctions de classe C 1 sur leur ensemble de définition. Conclure. 3. Résoudre l EDP en utilisant le changement de variable u = x + y et v = x + ky. On montrera bien-sûr que ce changement de variables définit un C 1 -difféomorphisme sur R 2 tout entier. 4. Conclure l exercice. Exercice 6.12 : 1. On veut résoudre l équation différentielle suivante : r 2 v + rv = cv, r [0, 1]; (E) v(1) = 0; v (1) = 0. c désigne une constante strictement positive. (a) On choisit de poser v(r) = r q f(r), où q est un nombre réel strictement positif. Montrer que l équation (E) est équivalente à l équation : (F) r 2 f + (2q + 1)rf = (c q 2 )f, r [0, 1]; f(1) = 0; f (1) = 0. (b) On choisit alors q = c, et on pose g = f. Déterminer la nouvelle équation vérifiée par g et la résoudre. (c) En déduire f, puis v. 2. On appelle D, le disque de centre O et de rayon 1, et C, le cercle de centre O et de rayon 1. Résoudre l EDP suivante en utilisant un changement de coordonnées polaires puis une séparation de variables : { u = 0 dans D u = 0 sur C. On pourra utiliser au cours de la résolution la question précédente. 3. Conclure. Exercice 6.13 : On souhaite résoudre l équation des cordes vibrantes : 2 u t u 2 c2 2 x = 0; 2 u(x, 0) = u 0 (x); (E 0 ) u t (x, 0) = u 1(x); u(x, t) 0. x +

74 66 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP c désigne la célérité ou vitesse de l onde, t, le temps, x, la position de la corde vibrante. u 0 est une fonction continue qui représente la position initiale de la corde, u 1, une fonction continue qui représente la vitesse initiale de l onde. Utiliser le changement de variable y = x ct et z = x + ct pour résoudre complètement l EDP ci-dessus. Interpréter la solution à l aide d un dessin. Exercice 6.14 : La loi de Fourier est l équation aux dérivées partielles qui décrit la propagation de la chaleur dans un milieu. On considère le flux dénergie thermique J(r, t) qui traverse une surface unitaire par unité de temps. La loi de Fourier s écrit : J = κ u, où κ est le coefficient de conductivité thermique et u, la température du milieu, qui est fonction de x (la position) et de t (le temps). Cette loi stipule qu une différence de températures engendre un flux d énergie dans la direction des températures décroissantes. Considérons le cas unidimensionnel, par exemple, le cas d une poutre de longueur L, infiniment plus longue qu épaisse. Un bilan en puissance et la loi de Fourier permettent de démontrer que la température u du milieu vérifie l équation de la chaleur : u t = u c2 2 x 2, où c 2 = κ, avec σ, la chaleur spécifique du corps et ρ, sa densité volumique. σρ On se donne les conditions suivantes : (i) Les deux extrémités de la poutre sont à une température de 0 C. On a par conséquent : u(0, t) = u(l, t) = 0, t R +. (ii) Condition initiale. On suppose que x [0, L], u(x, 0) = f(x), où f est une fonction de classe C 1 sur [0, L] donnée. Le but de cet exercice est de résoudre par une méthode de variables séparables l équation de la chaleur en dimension 1 : u (1) t = u c2 2 x 2, (x, t) [0, L] R + (1.1) u(0, t) = u(l, t) = 0, t R + (1.2) u(x, 0) = f(x) x [0, L] (1.3) Rappel d Analyse : la fonction «sinus hyperbolique» est définie par la relation : x R, sinh x = ex e x. La fonction sinh réalise une bijection de R dans R On pose (x, t) [0, L] R +, u(x, t) = v(x)w(t). Démontrer que résoudre (1) revient alors à résoudre deux équations différentielles d inconnues respectives v et w. Préciser l ordre de ces équations. 2. On appelle (2) l équation en v, (3) l équation en w. Dans cette question, on ne prendra pas en compte la condition (1.3) de l équation (1), faisant intervenir la fonction f. Seules les conditions aux limites (1.2) interviendront. (a) On suppose v non identiquement nulle (c est à dire, v n est pas la fonction constante égale à 0 sur [0, L]). Démontrer dans un premier temps que selon le signe des paramètres intervenant dans l équation (2), il y a trois expressions possibles pour v(x), que l on précisera.

75 6.4. EXERCICES DU CHAPITRE 67 (b) En s intéressant aux conditions aux limites (1.2), démontrer qu un seul des cas précédents ne fournit pas la solution identiquement nulle pour v(x). Démontrer que les seules solutions acceptables pour (2) sont les fonctions v n, définies pour tout n entier naturel quelconque et x R par : ( nπ ) v n (x) = K n sin L x, où les K n sont des nombres donnés dépendant de n. (c) Résoudre également l équation (3). On pourra utiliser certaines informations démontrées dans la qestion précédente. (d) En déduire, (x, t) [0, L] R +, l expression de u n (x, t), solution de l équation (1), pour n fixé. 3. Montrer que si f et g sont solutions de (1.1), si α et β sont deux réels quelconques fixés, alors αf + βg est également une solution de (1.1). 4. En déduire que la fonction U N définie pour tout N, entier supérieur à 1 par U N (x, t) = N u n (x, t) est encore une solution de (1.1). n=1 5. On s intéresse à présent à la condition (1.3). On pose à présent, sous réserve que cette limite existe : + (x, t) [0, L] R +, U(x, t) := lim U N(x, t) = u n (x, t). n + On appelle γ, la fonction définie sur [0, L] par : γ(x) = U(x, 0) = où (K n ) est une suite donnée. n=1 + n=1 ( nπ ) K n sin L x, (a) Démontrer que si U est une solution du problème (1), alors, f est nécessairement une fonction impaire. (b) Dans le cas où f est une fonction impaire, f se développe en série de Fourier de la façon suivante : f(x) = + n=1 ( nπ ) c n sin L x, où c n = 1 L ( nπ ) f(x) sin L L L x.dx. Donner l expression précise de la solution de (1) par la méthode des variables séparables, en fonction des paramètres de l équation. 6. On s intéresse enfin à l état stationnaire de l équation de la chaleur en dimension 1, c est à dire l état, obtenu au bout d un temps suffisamment grand pour lequel la température ne varie plus. (Elle est donc constante par rapport au temps.) On appellera T, la fonction de x correspondante. Déterminer l équation différentielle vérifiée par T, puis la résoudre. Conclure

76 68 CHAPITRE 6. INTRODUCTION AUX EDP

77 Chapitre 7 Transformée de Fourier pour les équations aux dérivées partielles Ce chapitre est largement inspiré des notes de cours de l école des Mines de Douai. 7.1 La transformée de Fourier Définitions On note L 1 (R), l ensemble des fronctions f définies de R dans R, continues par morceaux et telles que : Exemples : + f(t) dt existe. 1. La fonction f : x 1 1+x 2 appartient à L 1 (R) car : x2dx = 2 lim arctanx = π. x + 2. Par contre, la fonction g définie de R dans R par g(t) = t n appartient pas à L 1 (R). De façon plus générale, sauf dans le cas de la fonction nulle, les fonctions polynômes n appartiennent pas à L 1 (R). Définition 7.1. Transformée de Fourier. Soit f L 1 (R). On appelle transformée de Fourier de f l application : F(f) : R s C F(f)(s), où F(f)(s) = + e 2iπst f(t)dt. L application F : f F(f) s appelle transformation de Fourier. (C est une application qui, à une fonction, associe une autre fonction). Remarques : 69

78 70 CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 1. F(f)(s) est défini par une intégrale dépendant du paramètre réel s. On a : s R, e 2iπst f(t) = f(t). Cela montre que la fonction F(f) est définie et bornée sur R. On admettra que F(f) est continue sur R. 2. La courbe d équation y = F(f)(s) est appellée spectre de f. On peut démontrer que : lim F(f)(s) = 0. s + 3. Cas particulier 1 : si f est paire. On sait que e iθ = cosθ + i sin θ. Donc, l intégrale de Fourier s écrit : F(f)(s) = + (cos(2πst) i sin(2πst))f(t)dt. Or, les fonctions t f(t) cos(2πst) et t f(t) sin(2πst) sont respectivement paire et impaire. Donc : et + + f(t) cos(2πst)dt = 2 f(t) sin(2πst)dt = f(t) cos(2πst)dt Donc, si f est paire, F(f)(s) est un nombre réel et F(f)(s) = f(t) cos(2πst)dt. 4. Cas particulier 2 : si f est impaire. De la même façon, on montre que si f est impaire, F(f)(s) est un nombre imaginaire pur et on a : F(f)(s) = 2i + 0 f(t) sin(2πst)dt Propriétés de la transformée de Fourier On admet les propriétés suivantes : 1. F est linéaire. En effet, quels que soent f et g, fonctions de L 1 (R), λ et µ complexes, on a : F(λf + µg) = λf(f) + µf(g). 2. Transformée d une dérivée. Si f est continue et si df appartient à dx L1 (R), alors on a : ( ) df F : s 2iπsF(f)(s). dx 3. Règle de multiplication par t. Si la fonction t tf(t) appartient à L 1 (R), alors on a : d (F(f)) : s 2iπF(tf(t))(s). ds La notation abusive F(tf(t)) représente la transformée de Fourier de la fonction t tf(t).

79 7.1. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER Image d une translatée (formule du retard si a > 0). Soit a R. On pose : t R, g(t) := f(t a). g est donc la translatée de f ou le signal f "retardé" de a si a > 0. On a : F(g) : s e 2iπas F(f)(s). 5. Translation de l inage. Soit a R. On a : F(e 2iπat f(t)) : s F(f)(s a). La notation abusive F(e 2iπat f(t)) représente la transformée de Fourier de la fonction t e 2iπat f(t). 6. Changement d échelle. Soit ω > 0. F(f(ωt)) : s 1 ( s ) ω F(f). ω 7. Produit de convolution. Définition 7.2. Produit de convolution. Soient f et g, deux fonctions de L 1 (R). On appelle produit de convolution de f et de g la fonction notée f g définie par : On a alors (f g) L 1 (R). (f g)(t) = + f(u)g(t u)du. On peut démontrer que : F(f g) = F(f).F(g) Transformée de Fourier inverse Définition 7.3. Transformée de Fourier conjuguée. Soit f L 1 (R). On appelle transformée de Fourier conjuguée de f la fonction : F(f) : s On a alors le théorème d inversion suivant : Théorème 7.1. Formule d inversion. Si f et F(f) sont dans L 1 (R), alors : F (F(f))(t) = 1 2 En particulier, si f est continue en t, alors : On peut écrire que : F(f)(s) = + + [ e 2iπst f(t)dt. lim f(x) + lim f(x) x t x>t F (F(f))(t) = f(t). e 2iπst f(t)dt f(t) = x t x<t + ]. e 2iπst F(f)(s)ds.

80 72 CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER Remarque : ces formules nous montrent que la transformation de Fourier peut être inversée : il existe donc une transformation inverse qui est F que l on pourrait aussi noter F 1. dans la section suivante, nous verrons comment utiliser la transformée de Fourier pour résoudre des équations aux dérivées partielles. Exercice : on choisit f : t e a t, avec a > 0. Nous verrons en travaux dirigés que : 2a F(f)(s) = a 2 + 4π 2 s 2. Sachant que F (F(f))(t) = f(t), déterminer la transformée de Fourier de la fonction h : t t 2. Réponse : après calculs, vous devez trouver que : F(h)(s) = πe 2πs. 7.2 Application à la résolution d EDP Nous allons à présent découvrir une nouvelle technique de résolution des équations aux dérivées partielles. Je ne souhaite pas entrer dans des condidérations trop techniques. C est pour cela que nous évincerons volontairement certains problèmes plus proches des préoccupations des Mathématiciens que des ingénieurs. Un minimum de rigueur est cependant indispensable si l on ne veut pas obtenir par exemple des solutions qui n existent pas ou des solutions erronées. Avant de nous intéresser à un exemple concret, je commence par énoncer un théorème fondamental dans la théorie de l intégration : le théorème de Lebesgue. Théorème 7.2. Le théorème de convergence dominée de Lebesgue. Soit (f n ) n N, une suite de fonctions intégrables sur Ω telles que : f n (x) f(x), pour tout x Ω; n + Il existe une fonction g, intégrable sur Ω, ne dépendant pas de n telle que : f n (x) g(x), pour tout x Ω et n N. Alors, f est intégrable et lim f n (x)dx = f(x)dx. n + Ω Ω Exemple : on cherche à déterminer si elle existe lim n e nx dx. Posons f n (x) = e nx et Ω = [0, 1]. Alors, on peut vérifier toutes els conditions du théorème : Soit x [0, 1]. On a : f n (x) n + 0. Pour tout x [0, 1] et tout n N, on a : f n (x) = e nx 1.

81 7.2. APPLICATION À LA RÉSOLUTION D EDP 73 Le théorème de convergence dominée nous affirme donc que : 1 lim n + 0 e nx dx = 1 0 lim n + e nx dx = 0. Attention! On pourrait être tenté de croire que l on peut toujours permuter une limite set une intégrale (ou une limite et une somme par exemple), mais il existe des contreexemples. Il faudra donc toujours vérifier que l on est dans les conditions d application de ce théorème. Vous en comprendrez mieux l utilité grâce à l exemple de résolution d EDP que nous allons traiter à présent. À titre d exemple, considérons de nouveau l équation de la chaleur mais cette fois dans une barre infinie : { u t = 2 u x 2 u(x, 0) = ϕ(x) x R, avec ϕ L 1 (R) donnée. Dans les calculs qui suivent, nous allons appliquer les formules que nous venons de voir sur les transformées de Fourier. Nous supposoerons dans nos calculs que si u est une fonction des deux variables x et t, alors : d dt Ω u(x, t)dx = Ω (x, t)dx. t Ce résultat est bien-sûr faux en général. Nous n étudierons que des équations dans lesquelles cette égalié est réalisée. Si vous souhaitez vous documenter sur ce thème, il existe de nombreux ouvrages de Mathématiques qui traitent de la théorie de l intégration. Supposons que u est assez régulière pour que l EDP ait un sens. On pourra par exemple supposer que u, u x et 2 u u sont intégrables avec lim u(x, t) = 0, lim (x, t) = 0 x2 x ± x ± x pour tout t fixé et qu il existe une fonction g intégrable sur R telle que : t > 0, x R, u (x, t) t g(x). Exposé de la méthode : 1. 1 ère étape : pour t > fixé, on prend la transformée de Fourier en x des deux membres de l équation ci-dessus : ( ) ( ) u 2 u F (s, t) = F (s, t). t x 2 Mais puisque l on s est donné l autorisation d intervertir l opérateur de dérivation en une variable et les intégrales d une autre variable, on a : ( ) u + u F (s, t) = t t (x, t)e 2iπsx dx = + u(x, t)e 2iπsx dx = F(u)(s, t). t t Afin d alléger un peu les notations, on écrira dorénavant û pour désigner la transformée de Fourier de u par rapport à la variable x, autrement dit F(u). On peut donc écrire que : ( ) u F (s, t) = t). t tû(s,

82 74 CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER Par ailleurs, en appliquant les formules énoncées précédemment, on a successivement : ( ) ( ) u 2 u F (s, t) = 2iπsû(s, t), puis F (s, t) = 4π 2 s 2 û(s, t). x x 2 L équation aux dérivées partielles devient donc : tû(s, t) = 4π2 s 2 û(s, t). s étant une variable indépendante de t, on est finalement ramené à résoudre une équation différentielle ordinaire à coefficients constants. La solution est bien connue (cf. chapitre précédent). On peut ainsi écrire que : û(s, t) = C(x)e 4π2 s 2t, où C désigne une fonction de la variable x ème étape :On utilise condition initiale (t = 0) pour résoudre complètement l EDP après transformation de Fourier. Nous allons maintenant déterminer l expression de la fonction C. On a envie de faire tendre t vers 0 dans l expression ci-dessus. On a donc : C(x) = lim t 0 t>0 û(s, t) lim t 0 t>0 + u(x, t)e 2iπsx dx. On souhaite ici permuter la limite et l intégrale. On va utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue. Si ce théorème s applique, on pourra alors écrire que : C(x) = + lim u(x, t)e 2iπsx dx = t 0 t>0 + u(x, 0)e 2iπsx dx = + ϕ(x)e 2iπsx dx = F(ϕ)(s, t) = ϕ Justification de la permutation limite - intégrale : on pose f(x, t) = u(x, t)e 2iπsx. D après l inégalité des accroissements finis et les hypothèses émises sur la fonction u, on peut écrire que : f(x, t) f(x, 0) = f(x, t) ϕ(x) g(x) t 0 = tg(x). Nous sommes donc dans les conditions d application du théorème de convergence dominée de Lebesgue ce qui nous permet de permuter limite et intégrale. Finalement, on obtient : û(s, t) = ϕ(x)e 4π2 s 2t. Or, nous verrons en exercice que si l on désigne par f, la fonction définie par f(x) = e αx2 (α > 0), alors on a : π π F(f)(s) = 2 α e α s2. On a donc en prenant α = 1 4t : û(s, t) = 1 2 ϕ(x) f(s). πt

83 7.2. APPLICATION À LA RÉSOLUTION D EDP ème étape : on utilise la transformée de Fourier inverse pour trouver une expression intégrale de la solution. D après la formule du cours, puisque : û(s, t) = 1 2 ϕ(x) f(s), πt on peut exprimer u à l aide d un produit de convolution et on a : u(x, t) = (ϕ f)(x) = πt 2 πt + ϕ(u)e (x u)2 4t du. On a donc une expression explicite (bien que sous forme intégrale) de la solution. Reste à justifier que les hypothèses initiales sur la fonction u sont valides. Nous ne vérifierons pas que les dérivées successives de u sont intégrables, en revanche, il est possible de se convaincre de l existence d une fonction g telle que : t > 0, x R, u (x, t) t g(x). Pour l établir, il s agit de dériver l expression de u(x, t) par rapport à t, en utilisant la règle donnée en début de paragraphe (on peut dériver sans se préoccuper de l intégrale). Ensuite, on utilise le fait que pour tout n, entier supérieur ou égal à 2, il existe une constante κ > 0 telle que on ait : e x2 κ. 1. Je laisse au lecteur le x n soin de s en convaincre.

84 76 CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER 7.3 Exercices du chapitre Exercice 7.1 : On définit la fonction porte Π par { 1 si x [ 1 Π(x) = ; 1], sinon. 1. représenter la courbe de Π et calculer sa transformée de Fourier. 2. En utilisant le résultat précédent, calculer les transformées de Fourier des fonctions (a) f définie par (b) g définie par (c) h définie par Exercice 7.2 : ( ) x 1/2 f(x) = Π, pour a > 0, a g(x) = xπ(x), h(x) = (Π Π)(x), pour a > Déterminer la transformée de Fourier de la fonction triangle Λ définie par : { 1 x si x [ 1; 1], Λ(x) = 0 sinon. 2. Calculer la dérivée de Λ et exprimer Λ (t) à l aide de la fonction porte Π. 3. Appliquer à la relation obtenue l opérateur F. En déduire la transformée de Fourier de Λ. 4. Vérifier que Λ = Π Π. retrouver alors le résultat de la question précédente. Exercice 7.3 : On s intéresse au problème suivant. 1. On veut calculer la transformée de Fourier de la fonction f telle que : f(x) = e a2 x 2, pour a 0. En utilisant le fait que f est solution d une équation différentielle, en déduire F(f). 2. Soit maintenant f a, pour a > 0, la gaussienne définie par (a) Calculer sa transformée de Fourier. f a (x) = 1 a 2π e (b) Calculer le produit de convolution f a f b. Exercice 7.4 : Résoudre les questions suivantes dans l ordre. 1. Calculer la transformée de Fourier de la fonction f donnée par x 2 2a 2 f : x f(x) = e x 2. En déduire que 1 ν R, F( 1 + x2)(ν) = πe 2π ν

85 7.3. EXERCICES DU CHAPITRE Résoudre l équation fonctionnelle dans L 1 où a R +. R e a x t f(t)dt = e x2 Exercice 7.5 : On se donne une fonction ϕ L 1 (R). Résoudre alors l équation fonctionnelle suivante : trouver f L 1 satisfaisant l équation discrète où R tel que k < 1 2. f(x) k(f(x + 1) + f(x 1)) = ϕ(x), Exercice 7.6 : En s inspirant de la méthode de résolution de l EDP de la chaleur dans le cas d une barre de longueur infinie, résoudre le problème de Dirichlet dans le demi-plan : { u(x, y) = 0 (x, y) Ω u(x, 0) = ϕ(x) où Ω est le demi-plan {(x, y) R 2 : y > 0} et ϕ est une fonction donnée intégrable sur R.

86 78 CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER

87 Chapitre 8 Calcul d intégrales doubles et triples Nous allons nous intéresser dans ce chapitre au calcul pratique d intégrales doubles et triples, très utiles dans de nombreux domaines de la Physique tels que la Mécanique du solide pour n en citer qu un. Je m attacherai donc à fournir quelques recettes générales permettant de traiter les cas usuels. Nous nous placerons systématiquement dans le cas où la fonction à intégrer est continue, le plus souvent sur un domaine borné. Des résultats plus généraux appartenant à la théorie développée par Lebesgue au tout début du vingtième siècle, relatifs aux théorèmes de convergence d intégrales, ne seront pas développés dans ce chapitre. 8.1 Calcul intégral dans R Toutes les fonctions considérées dans ce paragraphe seront supposées continues. Quelques rappels de base en théorie de l intégration d une fonction d une variable sont fournis en annexe. Le lecteur intéressé pourra s y reporter. Je redonne ci-dessous quelques principes généraux Quelques méthodes Que faut-il retenir et comment doit-on procéder si l on souhaite calculer b a f(t).dt? Si a et b sont deux réels donnés (a < b), et f, une fonction continue sur [a, b], alors f admet une primitive sur [a, b], notée F (i.e., une fonction telle que F = f sur [a, b]) et on a : b a f(u).du = F(b) F(a). Pour les calculs effectifs de primitives, le lecteur pourra se reporter au tableau fourni en annexe. f étant une fonction continue sur I. Les conditions sont énoncées pour x I. 79

88 80 CHAPITRE 8. CALCUL D INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES Conditions n N n 2 et u(x) 0 u(x) > 0 u(x) R u(x) R Fonction f u.u n u u u cos u u sin u u n u u n+1 1 Une primitive F de f sur I 2 u sin u cosu n + 1 (n 1)u n L intégration par parties Théorème 8.1. Soient u et v, deux fonction dérivables sur un intervalle I, dont les dérivées sont continues sur I, et a et b, deux réels de I. Alors : b a b u(x)v (x).dx = [u(x)v(x)] b a u (x)v(x).dx. a Preuve : il suffit d utiliser l égalité (uv) = u v + uv et d intégrer chaque membre de la relation. Exemple : calcul de la primitive de x x sin x qui s annule en 0. C est la fonction φ(x) = x 0 x sin x.dx. x x sin x est continue sur R, donc intégrable. Utilisons un calcul par parties : Posons u(x) = x et v (x) = sin x, alors u (x) = 1 et v (x) = cosx. Pour tout réel x, on a : φ(x) = x 0 t sin tdt = x 0 u(t)v (t).dx = [ t cos t] x 0+ x 0 cost.dx = x cosx+[sin t] x 0 = x cos x+sin x. Un second exemple intéressant d intégration par parties est fourni par les intégrales de Wallis, dont le détail sera donné utltérieurement Introduction aux intégrales impropres Imaginons par exemple que l on souhaite calculer la limite existe, on a : + a + f(t).dt = lim F(x) F(a). x + a f(t).dt. On admettra que, lorsque Les mêmes remarques s appliquent lorsque une des bornes de l intégrale est. + dx Exemple : Calcul de I = 1 x. 2 Essayons de mieux cerner cette notion à l aide des aires. Appelons f, la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = 1 x 2. Sur R +, cette fonction a pour représentation graphique ci-dessous. Intéressons-nous alors à l aire du domaine défini par : { 1 x A 0 y f(x),

89 8.1. CALCUL INTÉGRAL DANS R 81 où x et y sont les coordonnées d un point M du plan et A, un nombre réel supérieur strictement à y x Fig. 8.1 Représentation graphique de la fonction x 1 x 2 Intuitivement, on comprend qu une condition nécessaire est que f décroisse (suffisament rapidement) vers 0 quand x +. Autrement, l intégrale (représentée par l aire, si f 0) divergerait. Essayons à présent de mieux comprendre ce phénomène par le calcul. L aire du domaine décrit ci-dessus, notée A(A) se calcule par la formule : A [ dx A(A) = 1 x = 1 ] A = x 1 A. Et on remarque immédiatement que lim A(A) = 1. A + Cette petite astuce nous permet d introduire la notation + a f(x).dx, avec a, un nombre réel. Une telle intégrale est appelée intégrale impropre. Nous la définissons de la façon suivante : + ( A ) f(x).dx := lim f(x).dx. A + a Attention cependant! Il n est pas du tout certain qu une telle limite existe pour toutes les fonctions. Un calcul immédiat permet de montrer que l on ne peut pas définie une telle intégrale pour la fonction x 1. Donc, prudence! x D autre part, cette définition peut être largement complétée! La théorie de l intégration a été imaginée en grande partie par Lebesgue qui a défini proprement ce type d intégrales en introduisant la notion de tribu. Cette théorie sera développée dans le supérieur pour les futurs mathématiciens. De la même façon, on pourrait définir, quand la limite existe, pour a réel : a ( a ) f(x).dx := lim f(x).dx. A a A

90 82 CHAPITRE 8. CALCUL D INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES Notations : si I est un intervalle de type [a; b], avec a et b réels, alors f(t).dt désigne tout simplement f(t).dt, ou si I = [a; + [, par exemple, on a : f(t).dt I b = + a f(t).dt, etc. Si I = R, alors on peut écrire que : f(t).dt = lim x I a Visualisation graphique de l intégrale x y f(t).dt + lim f(t).dt. y + 0 Lorsque f est une fonction continue et positive sur un intevalle [a, b], le nombre I b a f(t).dt s interprète comme l aire du domaine délimité par la courbe de f, l axe des abscisses et les droites d équations x = a et x = b. y f(b) C f f(a) a b x Fig. 8.2 Visualisation de l intégrale 8.2 Intégrales doubles Intégrale double sur un rectangle Théorème 8.2. Théorème de Fubini. Soit f : R 2 R, continue sur le rectangle R = [a, b] [c, d] (a < b et c < d). Alors : b d Exemple : calcul de J = [ ] 5 1 xy.dx = y 2 x a c f(x, y).dx.dy = xy.dx.dy. d b c a f(x, y).dx.dy. = 8y et 1 8y.dy = 4. Par conséquent, J = 4. 0

91 8.2. INTÉGRALES DOUBLES 83 Exercice : vérifier le théorème de Fubini pour l intégrale J Intégrale double sur une partie bornée Soit U, une partie bornée de R 2, et f, une fonction de R 2 dans R, définie et continue sur U. U est incluse dans un rectangle du type R = [a, b] [c, d]. On souhaite intégrer f sur U. Posons : { f(x, y) = f(x, y) si (x, y) U Alors : U f(x, y) = 0 si (x, y) R\U. f(x, y).dx.dy = f(x, y).dx.dy. R Souvent, on aura affaire à des domaines de différentes formes : { a x b ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x). Alors, on écrira : forme : Alors, on écrira : U U f(x, y).dx.dy = f(x, y).dx.dy = b ϕ2 (x) a ϕ 1 (x) { a y b ϕ 1 (y) x ϕ 2 (y). b ϕ2 (y) a ϕ 1 (y) f(x, y).dy.dx. Si le domaine est de la f(x, y).dx.dy. La figure qui suit illustre le principe de calcul général, lorsque le domaine est borné. Exemple : calcul de I = dx.dy (x + y) 2.

92 84 CHAPITRE 8. CALCUL D INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES Remarquons au préalable que cette intégrale n est pas impropre, puisque (x, y) 1 est continue sur le rectangle [3, 4] [1, 2]. On peut donc écrire : (x + y) 2 A = A = A = [ ln [ ] y=2 1 dx x + y y=1 ( 1 x x + 2 ( )] 4 x + 1 x ) dx = ln Remarque : fonctions à variables séparées. Imaginons que l on souhaite intégrer sur le rectangle R = [a, b] [c, d], avec a < b et c < d, la fonction continue f, des deux variables x et y, définie par une relation du type : f(x, y) := g(x)h(y), où g et h sont deux fonctions continues d une variable. Alors, on peut écrire : b d a c f(x, y).dx.dy = b d a c ( b g(x)h(y).dx.dy = a ) ( d ) g(x).dx h(y).dy. c Propriétés de l intégrale double On choisit encore f, continue sur un domaine U R 2 et à valeurs réelles. Soient D 1 et D 2, deux domaines disjoints (D 1 D 2 = ) inclus dans U. Alors : De même, on peut écrire de façon formelle : f = f + f. D 1 D 2 D 1 D 2 D (f + g) = D f + Les intégrales doubles permettent également de calculer des surfaces. Le principe est le même qu en dimension 1. Si D est un domaine borné de R 2, si nous notons A(D), son aire, alors on a : A(D) = dx.dy. Exemple : On appelle D, l ensemble des points (x, y) tels que : D { 0 x 1 x 2 y x D g. On souhaite calculer l aire du domaine D, qui correspond à la lunulle représentée ci-dessus.

93 8.2. INTÉGRALES DOUBLES x Fig. 8.3 Représentation du domaine d intégration On appelle A, cette aire. On a : A = A = A = D 1 0 A = dx.dy. = 1 x 0 x 2 ( x x 2 dx.dy. [ 2 5 x x3 ] 1 0 dy.dx Changement de variable dans R Rappelons la formule du changement de variable dans R. Théorème 8.3. Soient I et J, deux intervalles de R. On appelle a et b les extrémités de J. Soit ϕ, un C 1 -difféomorphisme (bijection) de J dans I. Alors : b ϕ (t)f ϕ(t).dt = ϕ(b) a ϕ(a) f(u).du. Exemple 1 : calcul de J = u2.du.

94 86 CHAPITRE 8. CALCUL D INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES Posons ϕ(t) = cost. On a ϕ(0) = 1 et ϕ( π ) = 0. Puis : 2 Exemple 2 : calcul de I = J = J = J = ϕ(0) ϕ( π 2 ) 1 u2.du 0 π 2 π 2 0 J = π 4. π 2 0 x cosx 2.dx. sin t 1 cos 2 t.dt sin t sin t.dt Il suffit de choisir ϕ(t) = t 2 et f(t) = cost. On a alors :. I = = 1 2 π 2 0 π = 1 2 sin ( π 2 x cos x 2 dx = 1 2 cos udu ). 4 π 2 0 2x cosx 2 dx Changement de variable dans R 2 Théorème 8.4. Soit f, une fonction continue sur un domaine borné de R 2 : U. On peut parfois utiliser un changement de variables pour calculer f(x, y).dx.dy. Soit ϕ, un C 1 -difféomorphisme sur U, c est à dire : ϕ : (x, y) (u, v) bijective de classe C 1 sur U. ϕ 1, bijection réciproque est également de classe C 1 sur U = ϕ(u). On a alors : f(x, y).dx.dy = g(u, v) det J.du.dv U U, où J désigne la matrice jacobienne de ϕ 1, c est à dire : x x det J = u y u Exemple 1 : coordonnées polaires. Si x = ρ cosθ et y = ρ sin θ, det J = cosθ ρ sin θ sin θ ρ cos θ = ρ. Par conséquent, en utilisant les mêmes notations que dans le théorème ci-dessus, on a : f(x, y).dx.dy = g(ρ, θ)ρdρdθ. U U v y v. U

95 8.3. EXEMPLES D INTÉGRALES TRIPLES 87 Exemple 2 : calcul de I = 0, a 2 x 2 + y 2 b 2 }. U xy x2 + y 2.dx.dy, où U = {(x, y) R2 : x 0, y Un passage en coordonnées polaires fournit immédiatement : I = où U = [a, b] [ 0, π 2]. (Faire un dessin) Puis : I = b a π ρ 2 2 dρ Exemples d intégrales triples cos θ sin θdθ = b3 a 3. 6 U ρ cosθ sin θdρdθ, La définition que nous avons donnée s étend sans difficulté supplémentaire aux intégrales triples. Nous allons illustrer les différentes méthodes en calculant de deux façons le volume d une sphère. Ilm s agit en réalité du volume de la boule limitée par la sphère. Soit B, la boule fermée de R 3 de centre O et rayon R. B = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 R 2 }. Le volume de B est : V = dx.dy.dz Intégration par piles On se ramène à une intégrale double : ( ) R 2 x 2 y 2 V = D B dz R 2 x 2 y 2.dx.dy = 2 R2 x 2 y 2.dx.dy D, où D désigne le disque de R 2 de centre O et rayon R. Passons alors en coordonnées polaires : V = R2 ρ 2 ρdρdθ = 4π [ ] R (R 2 ρ 2 ) 3 2 = 4πR3 D Coordonnées sphériques Calculons l intégrale triple par un changement de variables, ici les coordonnées sphériques : x = ρ cosϕcosθ y = ρ cosϕsin θ. z = ρ sin ϕ [ On choisit ρ, ϕ et θ tels que : ρ [0, r]; θ [0, 2π]; ϕ π 2, π ]. Ce choix se justifie 2 aisément d après la figure suivante : La matrice jacobienne de cette transformation est :

96 88 CHAPITRE 8. CALCUL D INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES z M r O ϕ y x x ρ y J = ρ z ρ x θ y θ z θ θ M Fig. 8.4 Coordonnées sphériques x ϕ y = ϕ z ϕ cosϕcosθ ρ sin θ cos ϕ ρ sin ϕ cosθ cosϕsin θ ρ cosθ cosϕ ρ sin ϕ sin θ sin ϕ 0 ρ cosϕ Le déterminant de J est : det J = ρ 2 cosϕ (règle de Sarrus). On en déduit : R π V = ρ 2 cosϕdρdϕdθ = ρ 2 2 2π dρ cos ϕdϕ dθ. B 0 Il s ensuit immédiatement que V = 4πR3 3. Plus généralement, énonçons le théorème de changement de coordonnées en dimension 3, dont le meilleur exemple d application est le calcul du volume de la sphère de centre O et rayon R effectué ci-dessus : Théorème 8.5. Changement de variable. Soit ψ : U R 3 V R 3, un C 1 -difféomorphisme tel que : ψ(u, v, w) = (P(u, v, w), Q(u, v, w), R(u, v, w)). Si D U, on note D = ψ(d). On peut encore écrire D = ψ 1 (D ), et si f est une fonction continue de U dans R, alors : f(x, y, z).dx.dy.dz = f (ψ(u, v, w)) J ψ (u, v, w).du.dv.dw D D, où l on aura noté J ψ, le déterminant : P P P u v w J ψ := det P Q Q u v w P R R. u v w 0 π 2.

97 8.3. EXEMPLES D INTÉGRALES TRIPLES Un exemple d application en Physique En Mécanique par exemple, on peut être amené à chercher le centre de gravité d une demi-boule homogène : B := { (x, y, z) R 3 : z 0, x 2 + y 2 + z 2 R 2}. On appelle m, la masse de la demi-boule. On appelle µ, la masse volumique de la boule. Si O est le centre du repère, le centre de gravité G du solide est défini par la relation : m OG = µ OM.dx.dy.dz B, où M désigne un point de B de coordonnées (x, y, z). En utilisant des propriétés de symétrie de B, on montre sans difficulté que x G = y G = 0. Reste à calculer z G. On a : mz g = µ z.dx.dy.dz. Un passage en coordonnées sphériques fournit : mz g = µ (ρ sin ϕ)(ρ 2 cosϕdρdθdϕ)., avec Ω = [0, R] [0, 2π] est à variables séparées : z G = µ m (ρ,θ,ϕ) Ω B [ 0, π ]. Le calcul est immédiat puisque la fonction à intégrer 2 ( R 0 ) ( 2π ) ( π ρ 3 2.dρ dθ 0 0 sin ϕ cosϕ.dϕ Finalement, en considérant que m = 2 3 µπr3 (calcul d une masse volumique), on trouve : z G = 3 8 R. ).

98 90 CHAPITRE 8. CALCUL D INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES 8.4 Exercices du chapitre Remarque préalable : il est vivement conseillé, avant de se lancer dans quelque calcul d intégrale que ce soit, de représenter lorsque c est possible, le domaine d intégration... Exercice 8.1 : Calculer les intégrales suivantes : 1. xy.dx.dy, sur U = {(x, y) R 2, x 1, y 1, x + y 2}. U 2. x y.dx.dy, sur U = {(x, y) R 2, x2 + y2 1}. 2 3 U 3. (x + y).dx.dy, sur U, l intérieur du triangle de sommets A( 2, 0), B(0, 4) et U C(1, 0). dx.dy 4. (y x) 2, sur U = {(x, y) R2, x 2, y 0, x + y 3}. U Exercice 8.2 : 1. Calculer le volume de la région de R 3 limitée par la paraboloïde d équation z = x 2 +y 2 et le plan d équation z = Calculer le volume de la région de R 3 limitée par la surface d équation z = x 2 +(2y) 2 et le plan d équation z = 1. Exercice 8.3 : L objectif de cet exercice est de montrer que le choix d une méthode de calcul d intégrale double ou triple ne dépend pas seulement de la forme de la fonction. Il dépend également de la forme du domaine sur lequel on intègre la fonction. Calculer les intégrales I et J : I := x 2 + y2.dx.dy et J := D, où D := {(x, y) R 2 : x 2 4x + y 2 + 2y 3} x 2 + y 2.dx.dy Exercice 8.4 : Calculer l aire de la surface délimitée par l ellipse d équation : x 2 a + y2 = 1, avec a > 0 et b > 0. 2 b2 Exercice 8.5 : On donne l expression du changement de variable en coordonnées sphériques (dimension 3) pour calculer le volume d un tore : x = (R + ρ cosϕ) cosθ y = (R + ρ cosϕ) sinθ z = ρ sin ϕ, avec (ρ, θ, ϕ) [0, r] [0, 2π] [0, 2π]. En utilisant le changement de variable en coordonnées sphériques suggéré ci-dessus, caluler le volume du tore Γ engendré par la rotation autour de l axe (Oz) du disque d équations y = 0 et (x R) 2 + z 2 = r 2.

99 8.4. EXERCICES DU CHAPITRE 91 Exercice 8.6 : On souhaite déterminer la position du centre de gravité du demi-disque homogène : D := {(x, y) R 2 : R x R, 0 y } R 2 x 2. On montre aisément que x G = 0, et my G = σy.dx.dy, avec m = 1 2 σπr2. Calculer y G. Exercice 8.7 : Calculer le volume d une sphère de rayon R. On pourra utiliser le changement de variable suivant : Exercice 8.8 : x = ρ sin ϕ cosθ y = ρ sin ϕ sin θ z = ρ cosϕ 1. En utilisant l intégrale double K = variable, calculer : D, avec (ρ, θ, ϕ) [0, R] [0, 2π] [0, π]. I = e x2 2.dx e x2 +y 2 2.dx.dy et un changement de On appelle f, la fonction d une variable définie pour x R par : f(x) = 1 2π e x2 2. On dit qu une fonction f est une densité de probabilité gaussienne si on a : R f = 1. Vérifier que f est effectivement une densité de probabilité. 2. On admet que l espérance et la variance d une variable aléatoire continue X sont respectivement définies, lorsque ϕ est la densité de probabilité de la variable aléatoire par : E(X) = xf(x)dx et V ar(x) = x 2 f(x).dx. Calculer E(X) et V ar(x). R 3. Reprendre les questions précédentes lorsque f est définie, pour m R et σ > 0 par : f(x) = 1 2πσ e 1 2( x m σ ) 2. R Exercice 8.9 : Soit r, un nombre réel appartenant à l intervalle ouvert ]0, 1[ et C r, la couronne de R 2 définie par : C r = {(x, y) R 2 : r 2 x 2 + y 2 1}. On appelle f α, la fonction définie sur R 2 \{(0, 0)} par : f α (x, y) = x2 y 2 1. Démontrer que l intégrale A := 2π 0 cos(2θ).dθ vaut 4. (x 2 + y 2 ) α. 2. Démontrer très rapidement que la fonction f α est continue sur C r, et dessiner le domaine d intégration C r pour r = 1 2.

100 92 CHAPITRE 8. CALCUL D INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES On appelle I r et J r les intégrales respectivement définies par : I r = f α (x, y).dx.dy et J r = C r f α (x, y).dx.dy. C r I r et J r sont bien définies puisque f α est continue sur C r. (a) En utilisant un changement de variables, calculer I r. (b) De même, démontrer que J r vérifie : { 4 J r = 4 2α (1 r4 2α ), si α 2 4 ln r, si α = 2 3. Déterminer les valeurs de α telles que I r et J r aient une limite finie quand r tend vers 0.

101 Annexe A Formulaire de trigonométrie cos ( x) = cosx sin ( x) = sin x cos (π + x) = cosx sin (x + π) = sin x cos ( π x) = sin x sin ( π x) = cosx 2 2 cos ( π + x) = sin x sin ( π + x) = cos x 2 2 tan(x + π) = tanx tan( x) = tanx tan(x + π) = cotan x tan(x π) = cotan x 2 2 FORMULES D ADDITION cos (a + b) = cosacosb sin a sin b sin (a + b) = sin a cosb + sin b cosa cos (a b) = cosacosb + sin a sin b sin (a b) = sin a cosb sin b cosa tan a+tan b tan a tan b tan(a + b) = tan(a b) = 1 tan atan b 1+tan atan b sin 2a = 2 sin a cosa cos 2 a = 1 (1 + cos 2a) 2 cos 2 a + sin 2 a = 1 sin 2 a = 1 (1 cos 2a) 2 cos 2a = cos 2 a sin 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 sin 2 a FORMULES D EULER cosθ = 1 2 (eiθ + e iθ ) sin θ = 1 2i (eiθ e iθ ) FORMULE DE MOIVRE (e iθ ) n = e inθ = (cosθ + i sin θ) n = cosnθ + i sin nθ 93

102 94 ANNEXE A. FORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE FORMULES DE TRANSFORMATION cosacosb = 1 (cos (a + b) + cos (a b)) sin a sin b = 1 (cos (a b) cos (a + b)) 2 2 sin a cosb = 1 (sin (a + b) sin (a b)) 2 cosp + cosq = 2 cos ( p+q ) cos (p q) cosp cosq = 2 sin (p+q)sin (p q ) sin p + sin q = 2 sin( p+q )cos (p q) sin p sin q = 2 sin(p q) cos (p+q )

103 Annexe B Opérations sur les limites B.1 Limite d une somme Si f a pour limite en x 0 Si g a pour limite en x 0 Alors f + g a pour limite en x 0 L L L + L L ou L ou + Cas d indétermination B.2 Limite d un produit d une fonction par une constante λ non nulle Si f a pour limite en x 0 Alors λf a pour limite en x 0 L λl + + si λ > 0 et si λ < 0 si λ > 0 et + si λ < 0 B.3 Limite d un produit Si f a pour limite en x 0 Si g a pour limite en x 0 Alors f g a pour limite en x 0 L L L L L, L Cas d indétermination 1 Le signe se détermine d après une simple règle des signes 95

104 96 ANNEXE B. LIMITES B.4 Limite d un quotient Si f a pour limite en x 0 Si g a pour limite en x 0 Alors f a pour limite en x g 0 L L L 0 L L 0 L Cas d indétermination Cas d indétermination

105 97

106 98 ANNEXE C. DÉRIVÉES USUELLES Annexe C Dérivées usuelles Fonction Dérivée Intervalle Remarques x n nx n 1 R n N 1 n 1 R x n x n+1 + ou R n N x q qx q 1 R + q R e x e x R 1 ln(x) R + x sin(x) cos(x) R cos(x) sin(x) R 1 tan(x) ] π cos 2 (x) 2 + kπ; π [ 2 + kπ k Z cotan(x) 1 sin 2 (x) ]kπ; (k + 1)π[ k Z sinh(x) cosh(x) R cosh(x) sinh(x) R 1 tanh(x) cosh 2 R (x) 1 cotanh(x) sinh 2 R + ou R (x) 1 arcsin(x) ] 1, 1[ 1 x 2 1 arccos(x) ] 1, 1[ 1 x 2 1 arctan(x) R 1 + x 2 arccotan(x) 1 R 1 + x 2 1 argsinh(x) R argsinh(x) = ln(x + x 2 + 1) 1 + x 2 argcosh(x) argtanh(x) argcotanh(x) 1 x2 1 1 [1; + [ argcosh(x) = ln(x + x 2 1) ] 1; 1[ argtanh(x) = 1 ( ) 1 + x 1 x 2 2 ln 1 x 1 ] ; 1[ ou ]1; + [ argcotanh(x) = 1 ( ) x x 2 2 ln x 1

107 Annexe D Primitives usuelles 99

108 100 ANNEXE D. PRIMITIVES USUELLES Fonction Primitive Intervalle Remarques x α x α+1 R + α R\{ 1} α + 1 e ax 1 a ex R a C 1 ln x R x ln(x) x(ln x 1) R + 1 sin(ax) cos(ax) R a R a cos(ax) 1 sin(x) R a R a 1 tan(x) ] π cos 2 x 2 + kπ; π [ 2 + kπ k Z tan(x) ln cosx ] π 2 + kπ; π [ 2 + kπ k Z 1 sin 2 cotan(x) ]kπ; (k + 1)π[ k Z x cotan(x) ln sin x ]kπ; (k + 1)π[ k Z 1 ( x ) ln tan ]kπ; (k + 1)π[ k Z sin x 2 1 ( x ln tan cos x 2 + π ] 4) π 2 + kπ; π [ 2 + kπ k Z sinh(x) cosh(x) R cosh(x) sinh(x) R tanh(x) ln(cosh x) R cotanh(x) ln(sinh(x)) R + ou R 1 arcsin(x) ] 1, 1[ 1 x 2 1 arccos(x) ] 1, 1[ 1 x 2 1 arctan(x) R 1 + x 2 1 arccotan(x) R 1 + x 2 1 argsinh(x) R argsinh(x) = ln(x + x 2 + 1) 1 + x 2 1 x2 1 1 argcosh(x) [1; + [ argcosh(x) = ln(x + x 2 1) argtanh(x) ] 1; 1[ argtanh(x) = 1 ( ) 1 + x 1 x 2 2 ln 1 x 1 argcotanh(x) ] ; 1[ ou ]1; + [ argcotanh(x) = 1 ( ) x x 2 2 ln x 1

109 Annexe E Applications linéaires, matrices et déterminant : rappels E.1 Calcul matriciel dans R 2, R 3 et R n Une matrice est un tableau de valeurs. Une matrice n p est un tableau de valeurs à n lignes et p colonnes. ( ) Exemple : matrice 2 3. M = Remarque : une matrice A se notera souvent (a i,j ) i {1,...,n} j {1,...,p}, où n désigne le nombre de lignes et p le nombre de colonnes ou plus généralement (a i,j ), avec la convention que la lettre i représente une ligne de la matrice et la lettre j une colonne. Pour additionner deux matrices (il est impératif que ces matrices soient de même type), on se ramène à une addition de vecteurs. On additionne chaque colonne d une matrice avec chaque colonne correspondante de la matrice à ajouter. ( ) ( ) ( ) Exemple : + = On peut multiplier une matrice par un nombre réel λ. Ainsi, toutes les composantes de la matrice sont multipliées par λ. ( ) ( ) Exemple : 2 = Règle : de façon plus générale, si A = (a i,j ) est une matrice et B = (b i,j ) est une matrice de même type que A, alors on peut définir A + B = (a i,j + b i,j ), ainsi que λa = (λa i,j ), où λ est un scalaire (réel ou complexe). Multiplication de deux matrices A et B. Règle d or : pour effectuer le produit matriciel A B, il faut impérativement que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B. 101

110 102ANNEXE E. APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES ET DÉTERMINANT : RAPPELS ( ) Exemple : A = et B = 1 0. On peut effectuer le produit A B On a : A B = ( ) = ( ) ( 3 = 2 Règle de calcul : soient A = (a i,j ) et B = (b i,j ), deux matrices de types respectifs (n, p) et (p, q). On appelle matrice produit de A et B pris dans cet ordre la matrice de type p (n, q), notée C = (c i,j ) où : (i, j) {1,..., n} {1,..., q}, c i,j = a i,k b k,j. On écrira d ailleurs comme ci-dessus C = AB ou C = A B. Complétons ces notions sur les matrices avec de nouveaux objets dont l utilité apparaitra lorsque nous expliciterons des techniques de calcul de déterminants, dans la section qui suit. k=1 ). Notion de transposée d une matrice. Définition E.1. Soit une matrice A = (a i,j ) à n lignes et p colonnes. Posons, pour i et j tels que 1 i p et 1 j n, on pose b i,j = a j,i et on appelle B la matrice (b i,j ). B s appelle la matrice transposée de A et se note : B := t A. Propriété E.1. Soit deux matrices A = (a i,j ) et C = (c i,j ) à n lignes et p colonnes, et B, une matrice à p lignes et k colonnes. On a alors : (i) t (A + C) = t A + t C ; (ii) t (AB) = t B t A. Exemple : Si M = ( ), on a : t M = E.2 Lien avec les applications linéaires Commencer par rappeler la définition d une application linéaire. Définition E.2. Soient E et F, deux espaces vectoriels. Une application f de E dans F est dite linéaire si : (i) (x, y) E 2, f(x + y) = f(x) + f(y); (ii) a R, x E, f(ax) = af(x). les deux égalités précédentes équivalent à l unique égalité : (α, β) R 2, (x, y) E 2, f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).

111 E.2. LIEN AVEC LES APPLICATIONS LINÉAIRES 103 Considérons une application linéaire f : R 2 R. On appelle ( i, j), une base de R 2. On a donc ( i = (1, 0) et j = (0, 1). Ainsi, tout vecteur u de R 2 s exprime de façon unique en fonction de i et j par : ( ) u = u x i + u y j, où (u x, u y ) R 2 ux et on a : u =. u y Remarquons que le fait de connaître f( i) et f( j) permet de déterminer complètement f( u), pour u R 2. En effet, puisque f est linéaire, on peut écrire : f( u) = f(u x i+u y j) = u x f( i) + u y f( j). Exemple concret : f(x, y) = 3x + 4y. Exercice : montrer que f est une application linéaire. On a : f( i) = f(1, 0) = 3; f( j) = f(0, 1) = 4. Ainsi, si u = (4, 2) = 4 i + 2 j, on a : f( u) = 4f( i) + 2f( j) = = = 20. ( ) ux Posons M = (f( i), f( j)) = (3, 4). Pour u = R u 2 On a : f( u) = M u = ( ) y ux (3, 4), en utilisant la multiplication matricielle. u y M s appelle la matrice de l application f. Elle est définie par la relation suivante : Si X R 2, on a : f(x) = MX. Un autre exemple : on considère cette fois une fonction f : R 2 R 2 définie par la relation : ( ) ( ) x + y f1 (x, y) f : (x, y) =. 2x + 3y f 2 (x, y) Encore une fois, la connaissance de (f( i), f( j)) permet d expliciter l image de R 2 par f de façon explicite. Par exemple, posons : u = u x i + u y j, avec u x = 1 et u y = 2. On a : f( u) = f(1, 2) = ( ) ( 3 = 8 Maintenant, si u = u x i + u y j, avec u x et u y réels quelconques, on a : f( u) = f(u x, u y ) = ( ) ( ux + u y 1 1 = 2u x + 3u y 2 3 ). ) ( ux u y ). Pour mieux comprendre d où cette identité provient, retrouvons ce résultat à l aide d un

112 104ANNEXE E. APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES ET DÉTERMINANT : RAPPELS calcul formel. On peut écrire : f( u) = f(u x, u y ) = u x f( i) + u y f( j) ( ) ( ) f1 ( i) f1 ( j) = u x + u y f 2 ( i) f 2 ( j) ( ) ux f = 1 ( i) + u y f 1 ( j) u x f 2 ( i) + u y f 2 ( j) ( ) ( ) f1 ( i) f = 1 ( j) ux f 2 ( i) f 2 ( j) u y ( ) ( ) 1 1 ux = 2 3 u y De même que précédemment, on pose : M = ( M est la matrice de l application linéaire f. Elle est encore définie par la relation : ). Si X R 2, on a : f(x) = MX. À présent, généralisons le résultat que l on vient de prouver : Définition E.3. On considère une fonction f, linéaire, de R n à valeurs dans R p. f 1 (X) On suppose que si X = (x 1,..., x n ) R n, on a : f(x) =., où f i : R n R. f p (X) Soit (e 1, e 2,..., e n ), une base de R n. Alors, la matrice M de l application f est définie par la relation : si X R 2, on a : f(x) = MX, et : M = (f i (e j )) i {1,...,n} = j {1,...,p} f 1 (e 1 ) f 1 (e 2 )... f 1 (e p ).... f i (e j ).... f n (e 1 ) f n (e 2 )... f n (e p ) E.3 Calculs de déterminants en dimensions 2 et 3 Commençons par donner l expression explicite du déterminant de matrices de type 2 2 et 3 3. Déterminant 2 2 : a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21.

113 E.3. CALCULS DE DÉTERMINANTS EN DIMENSIONS 2 ET Déterminant 3 3 : a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Pour retrouver simplement cette formule, on peut utiliser une disposition pratique appelée règle de Sarrus / a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a Exemple : = = 1. Énonçons à présent quelques propriétés caractéristiques des déterminants : Propriété E.2. Soient A et B, deux matrices à coefficients réels de type n n et E, un espace vectoriel. Alors : (i) det(ab) = det A detb. (ii) det t A = det A. (iii) A est inversible si, et seulement si son déterminant est non nul. (iv) On appelle M 1, la matrice d une application linéaire f de E dans E, exprimée dans une base B 1 et M 2, la matrice de l application linéaire f, exprimée dans une base B 2. Alors, det M 1 = det M 2, et c est pour cela que l on peut, sans complexe, définir le déterminant d une application linéaire de E dans E.